Desenhe o conjunto de nível da função f dada por:
f(x, y)=ln (x+y).

Passo 1

Neste exercício, vamos esboçar as curvas de nível da função f(x,y)=ln(x+y). Isso pertence ao conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível: queremos achar, para cada valor c, o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

A definição de curva de nível de valor c é o conjunto (x,y):f(x,y)=c. No nosso caso, impomos
ln(x+y)=c
que é a condição para a curva de nível de valor c.

Passo 3

Para resolver essa equação, aplicamos a função exponencial aos dois lados e obtemos
x+y=e^c
Isso mostra que, para cada valor fixo de c, a curva de nível é a reta de coeficiente angular -1 definida por x+y=e^c.

Passo 4

Vale notar que o domínio de f é x+y>0, o que exige e^c>0, mas isso é sempre verdade para todo cinR. Assim, para cada cinR, temos uma reta paralela à reta x+y=0, deslocada de modo que o intercepto seja e^c.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=ln(x+y) são as retas
dadas por
x+y=e^c
para cada cinR, ou seja, o conjunto de nível de valor c é a reta de coeficiente angular -1 com intercepto e^c.

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