Determine o domínio e represente graficamente o domínio da função f dada por:
f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2.

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a função de três variáveis f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2. O conteúdo aqui é domínio de funções de várias variáveis e precisamos usar o conceito de que todo denominador não pode ser zero para que a função exista.

Passo 2

Para que f(x,y,z) esteja bem-definida, é preciso ter o denominador diferente de zero. Como sabemos pela teoria dos quadrados em R,
x^2+y^2+z^2>=0 para todo (x,y,z) e essa soma só é zero se e somente se x=0, y=0 e z=0. Logo, a única proibição no domínio é o ponto (0,0,0).

Passo 3

Em notação de conjuntos, o domínio fica
D = (x,y,z)in R^3 mid x^2+y^2+z^2 neq 0 = R^3 setminus (0,0,0)

Passo 4

Geometricamente, isso significa todo o espaço tridimensional, mas “furado” no ponto da origem. Em coordenadas esféricas, por exemplo, seria r>0 com theta e phi livres, mostrando que o único ponto excluído é r=0.

Resposta

O domínio de f é (x,y,z)in R^3mid x^2+y^2+z^2neq0= R^3setminus(0,0,0), ou seja, todo o espaço tridimensional sem o ponto na origem.

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