Verifique se os limites existem:
lim (x, y) (0,0) 2 xraizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite de uma função de duas variáveis. O conteúdo principal é limite em duas dimensões e a condição de independência de caminho: para existir, o valor deve ser o mesmo por qualquer direção de aproximação.

Passo 2

Vamos testar o caminho y=0. Substituindo em f(x,y)= 2xraizx^2+y^2 obtemos:
2xraizx^2+0=2x|x|
Esse valor tende a 2 se xto0^+ e a -2 se xto0^-, já indicando dependência do sentido de chegada.

Passo 3

Agora analisamos um caminho genérico y=mx. Substituímos em f:
f(x,mx)=2xraizx^2+m^2x^2=2x|x|raiz1+m^2=2,sgn(x)raiz1+m^2
Para xto0^+ isso vale 2/raiz1+m^2, que depende de m.

Passo 4

Como o resultado 2/raiz1+m^2 varia com m (por exemplo, vale 2 para m=0 e raiz2 para m=1), não há valor único independente do caminho. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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