Desenhe o conjunto de todos os pontos
que satisfazem as seguintes condições. (Na maioria dos casos, seu desenho será uma parte considerável de um plano, não apenas uma reta ou curva.)
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
. O conteúdo aqui é representação gráfica de desigualdades envolvendo funções polinomiais (as curvas
e
).
Passo 2
Para existir um valor de
tal que
, primeiro precisamos ter
. Ou seja, devemos resolver a desigualdade
que garante que há “espaço” entre as duas curvas.
Passo 3
Vamos reescrever e fatorar:
Essa desigualdade é satisfeita quando as duas parcelas são de mesmo sinal. Como
é sempre
e só é zero em
, precisamos de
, ou seja:
Portanto a solução em
é:
Passo 4
Isso significa que não há pontos válidos para
. Para
ou
, traçamos as curvas
e a região procurada é o conjunto de pontos cuja ordenada fica STRICTLY entre essas duas funções.
Passo 5
No esboço do gráfico, teremos duas porções desconexas:
- Para
, a curva está abaixo de , e sombreamos a região entre elas. - Para
, o mesmo acontece (ambas as curvas são simétricas em relação ao eixo ), e sombreamos a região entre elas.
Passo 6
Esse é o desenho pedido: duas “faixas” entre as curvas
e
, mas somente para
e para
.
Resposta
O conjunto é a região do plano, para
, compreendida estritamente entre as curvas
y = x²
e
y = x⁴
. Em outras palavras, são duas faixas desconexas, uma à direita de x=1 e outra à esquerda de x=−1, sombreadas entre as duas parábolas.
y = x²
e
y = x⁴
. Em outras palavras, são duas faixas desconexas, uma à direita de x=1 e outra à esquerda de x=−1, sombreadas entre as duas parábolas.