Teste a série quanto a convergência ou divergência.
3. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2 n-1}} $
3. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2 n-1}} $
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2n-1}} $ converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
Aqui, usamos a regra das potências que diz $ a^{b-c} = \frac{a{b}}{a{c}} $ e simplificamos os expoentes.
Passo 3
Agora, a série fica:
Podemos factorar o 3:
Isso nos mostra que estamos lidando com uma série geométrica.
Passo 4
Uma série geométrica tem a forma $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} $, onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão. Sabemos que essa série converge se $ |r| < 1 $ e diverge se $ |r| \geq 1 $.
Passo 5
No nosso caso, a razão $ r $ é $ \frac{4}{9} $. Vamos verificar o valor absoluto:
Como $ |r| < 1 $, a série geométrica converge.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2n-1}} $ converge.