Teste a série quanto a convergência ou divergência.
3. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2 n-1}} $

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2n-1}} $ converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries geométricas e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
4^n3^2n-1 = 4^n3^2n cdot 3^-1 = 3 cdot ( 43^2 )^n = 3 cdot ( 49 )^n
Aqui, usamos a regra das potências que diz $ a^{b-c} = \frac{a{b}}{a{c}} $ e simplificamos os expoentes.

Passo 3

Agora, a série fica:
sumn=1^infty 3 cdot ( 49 )^n
Podemos factorar o 3:
3 cdot sumn=1^infty ( 49 )^n
Isso nos mostra que estamos lidando com uma série geométrica.

Passo 4

Uma série geométrica tem a forma $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} $, onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão. Sabemos que essa série converge se $ |r| < 1 $ e diverge se $ |r| \geq 1 $.

Passo 5

No nosso caso, a razão $ r $ é $ \frac{4}{9} $. Vamos verificar o valor absoluto:
r
Como $ |r| < 1 $, a série geométrica converge.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4{n}}{3{2n-1}} $ converge.

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