Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede três coisas: desenhar as curvas de nível de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, indicar curvas auxiliares úteis para entender a forma da superfície e esboçar o gráfico 3D. Informações dadas e condições relevantes:
  • A função é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Domínio: todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Faixa/contradomínio: z\ge 0 (porque a raiz quadrada é não-negativa).
    As perguntas implícitas que vamos responder: quais são as curvas de nível (para um valor fixo de z), que curvas auxiliares escolhemos para estudo (interseções com planos coordenados e com planos radiais), e como usar essas informações para esboçar o gráfico 3D.

Passo 2

Encontrar as curvas de nível: fixar uma constante c e resolver
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=c.
Ao elevar ao quadrado (e lembrando das restrições), obtemos
x^{2}+y^{2}=c^{2}.
Para existir solução precisamos de c\ge 0. Portanto as curvas de nível são círculos centrados na origem no plano xy com raio c. Exemplos concretos:
  • Para c=0: x^{2}+y^{2}=0 é o ponto (0,0).
  • Para c=1: x^{2}+y^{2}=1 é o círculo de raio 1.
  • Para c=2: x^{2}+y^{2}=4 é o círculo de raio 2.
    Interpretacão prática: cada altura horizontal z=c corta a superfície numa circunferência de raio c.

Passo 3

Curvas auxiliares 1 — interseções com planos coordenados: cortar a superfície por planos verticais simples ajuda muito.
  • Plano y=0: substituir em z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
z=\sqrt{x^{2}}=|x|.
Logo a interseção com o plano y=0 (plano xz) é a curva z=|x|. Essa curva é um “V” formado por duas retas: para x\ge 0 temos z=x e para x\le 0 temos z=-x.
  • Plano x=0: analogamente
z=\sqrt{y^{2}}=|y|,
ou seja, na seção yz obtemos z=|y|, outro “V”.
Essas seções mostram que, quando vistas de frente (em xz ou yz), a superfície parece um V cujo vértice está em (0,0,0).

Passo 4

Curvas auxiliares 2 — cortes por planos que contêm o eixo z mas com direção radial fixa: use coordenadas cilíndricas para clareza. Defina
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge 0.
Substituindo em z
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r.
Para um \theta fixo (uma semi-reta saindo da origem no plano xy), a interseção da superfície com o plano definido por esse \theta é dada por z=r. Em coordenadas (r,z) isso é a reta
z=r,
ou seja, uma linha com inclinação 1 no plano radial. Geometricamente isso indica que, ao mover-se radialmente para fora na direção fixa, a altura cresce exatamente à mesma taxa que o raio.

Passo 5

Interpretação geométrica global (como é o gráfico 3D): a relação z=r mostra que a superfície é um cone circular reto com vértice na origem e geratrizes que fazem ângulo de 45^\circ tanto com o plano radial quanto com o eixo z. Características importantes:
  • É um cone de uma única “nappe” (só para z\ge 0), não existe parte abaixo de z=0.
  • Eixo do cone: eixo z.
  • Ângulo entre geratriz e eixo z: \arctan(1)=45^\circ.
  • As curvas de nível são círculos horizontais cujos raios aumentam linearmente com a altura (raio =z).

Passo 6

Como usar as curvas de nível para desenhar o esboço: passo a passo prático para você desenhar à mão:
  1. Desenhe os eixos x e y no plano horizontal e o eixo z vertical saindo do ponto origem.
  2. No plano xy, trace círculos concêntricos de raios \;1,2 (ou outros valores) e rotule cada um com o valor de z correspondente (por exemplo, o círculo de raio 1 corresponde à altura z=1).
  3. Em cada altura z=c desenhe a circunferência de raio c paralela ao plano xy. No esboço em perspectiva, isso vira elipses concêntricas quando vistas obliquamente.
  4. Ligue suavemente as circunferências formando uma superfície que se afasta da origem; o contorno visto de lado será o “V” das seções xz ou yz.
  5. Desenhe a aresta do cone (uma geratriz) como uma reta inclinada a 45^\circ no corte radial para reforçar a forma cônica.
    Dica: desenhe primeiro poucas alturas (por exemplo z=0,1,2), depois una as curvas para formar o cone; não tente desenhar todos os detalhes, o importante é representar o formato cônico e as círculos de nível.

Passo 7

Resumo das equações úteis (para referência rápida):
  • Curvas de nível: para c\ge 0,
x^{2}+y^{2}=c^{2}.
  • Seção no plano y=0:
z=|x|.
  • Seção no plano x=0:
z=|y|.
  • Em coordenadas cilíndricas:
z=r.

Passo 8

Observações finais e encorajamento: se você ficar em dúvida ao desenhar, faça primeiro as seções xz e yz para ver o “V” e depois adicione os círculos de nível no plano xy. Isso torna o esboço bem mais simples. Vai dar certo — faça um rascunho simples primeiro e refine depois.

Resposta

Curvas de nível: \;x^{2}+y^{2}=c^{2} para \;c\ge 0 (círculos centrados na origem de raio c).
Curvas auxiliares: interseção com y=0 \;z=|x|; interseção com x=0 \;z=|y|; em coordenadas cilíndricas \;z=r (para \;r\ge 0), cortes radiais são retas z=r.
Esboço do gráfico: superfície é um cone circular reto com vértice em (0,0,0), eixo no z, apenas para z\ge 0, com ângulo das geratrizes igual a 45^\circ.

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