Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: desenhar as curvas de nível de
, indicar curvas auxiliares úteis para entender a forma da superfície e esboçar o gráfico 3D. Informações dadas e condições relevantes:
- A função é
. - Domínio: todos os pontos
. - Faixa/contradomínio:
(porque a raiz quadrada é não-negativa).
As perguntas implícitas que vamos responder: quais são as curvas de nível (para um valor fixo de), que curvas auxiliares escolhemos para estudo (interseções com planos coordenados e com planos radiais), e como usar essas informações para esboçar o gráfico 3D.
Passo 2
Encontrar as curvas de nível: fixar uma constante
e resolver
Ao elevar ao quadrado (e lembrando das restrições), obtemos
Para existir solução precisamos de
. Portanto as curvas de nível são círculos centrados na origem no plano
com raio
. Exemplos concretos:
- Para
: é o ponto . - Para
: é o círculo de raio . - Para
: é o círculo de raio .
Interpretacão prática: cada altura horizontalcorta a superfície numa circunferência de raio .
Passo 3
Curvas auxiliares 1 — interseções com planos coordenados: cortar a superfície por planos verticais simples ajuda muito.
- Plano
: substituir em dá
Logo a interseção com o plano
(plano
) é a curva
. Essa curva é um “V” formado por duas retas: para
temos
e para
temos
.
- Plano
: analogamente
ou seja, na seção
obtemos
, outro “V”.
Essas seções mostram que, quando vistas de frente (em ou
), a superfície parece um V cujo vértice está em
.
Essas seções mostram que, quando vistas de frente (em
Passo 4
Curvas auxiliares 2 — cortes por planos que contêm o eixo
mas com direção radial fixa: use coordenadas cilíndricas para clareza. Defina
Substituindo em
dá
Para um
fixo (uma semi-reta saindo da origem no plano
), a interseção da superfície com o plano definido por esse
é dada por
. Em coordenadas
isso é a reta
ou seja, uma linha com inclinação
no plano radial. Geometricamente isso indica que, ao mover-se radialmente para fora na direção fixa, a altura cresce exatamente à mesma taxa que o raio.
Passo 5
Interpretação geométrica global (como é o gráfico 3D): a relação
mostra que a superfície é um cone circular reto com vértice na origem e geratrizes que fazem ângulo de
tanto com o plano radial quanto com o eixo
. Características importantes:
- É um cone de uma única “nappe” (só para
), não existe parte abaixo de . - Eixo do cone: eixo
. - Ângulo entre geratriz e eixo
: . - As curvas de nível são círculos horizontais cujos raios aumentam linearmente com a altura (raio
).
Passo 6
Como usar as curvas de nível para desenhar o esboço: passo a passo prático para você desenhar à mão:
- Desenhe os eixos
e no plano horizontal e o eixo vertical saindo do ponto origem. - No plano
, trace círculos concêntricos de raios (ou outros valores) e rotule cada um com o valor de correspondente (por exemplo, o círculo de raio corresponde à altura ). - Em cada altura
desenhe a circunferência de raio paralela ao plano . No esboço em perspectiva, isso vira elipses concêntricas quando vistas obliquamente. - Ligue suavemente as circunferências formando uma superfície que se afasta da origem; o contorno visto de lado será o “V” das seções
ou . - Desenhe a aresta do cone (uma geratriz) como uma reta inclinada a
no corte radial para reforçar a forma cônica.
Dica: desenhe primeiro poucas alturas (por exemplo), depois una as curvas para formar o cone; não tente desenhar todos os detalhes, o importante é representar o formato cônico e as círculos de nível.
Passo 7
Resumo das equações úteis (para referência rápida):
- Curvas de nível: para
,
- Seção no plano
:
- Seção no plano
:
- Em coordenadas cilíndricas:
Passo 8
Observações finais e encorajamento: se você ficar em dúvida ao desenhar, faça primeiro as seções
e
para ver o “V” e depois adicione os círculos de nível no plano
. Isso torna o esboço bem mais simples. Vai dar certo — faça um rascunho simples primeiro e refine depois.
Resposta
Curvas de nível:
para
(círculos centrados na origem de raio
).
Curvas auxiliares: interseção com dá
; interseção com
dá
; em coordenadas cilíndricas
(para
), cortes radiais são retas
.
Esboço do gráfico: superfície é um cone circular reto com vértice em , eixo no
, apenas para
, com ângulo das geratrizes igual a
.
Curvas auxiliares: interseção com
Esboço do gráfico: superfície é um cone circular reto com vértice em