Determine \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} para o campo vetorial \vec{F}=2 x y \hat{i}+\left(x^{2}+\operatorname{sen} y\right) \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde o campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=2xy\,\hat{i}+\bigl(x^{2}+\operatorname{sen} y\bigr)\,\hat{j}.
Informações relevantes dadas:
  • Os componentes do campo são P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^{2}+\operatorname{sen} y.
  • A curva C não foi especificada no enunciado (nem pontos inicial/final nem se é fechada).
    Perguntas implícitas que precisamos responder:
  • A integral de linha é dependente do caminho ou é dependente só dos extremos?
  • Se for independente de caminho (campo conservativo), dar a expressão da integral em termos dos pontos inicial e final; se for fechada, dar o valor correspondente.

Passo 2

Vamos testar se o campo é conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}). Critério prático em duas dimensões: se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa (aqui \mathbb{R}^{2} serve) e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
então \vec{F} é conservativo.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+\operatorname{sen} y\bigr)=2x.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x em todo \mathbb{R}^{2}, o campo é conservativo. Em palavras: a rotação (curl) no plano é zero e o domínio é simplesmente conexo, logo existe potencial.
Explicação didática curta: um campo conservativo é aquele cuja integral entre dois pontos não depende do caminho escolhido; isso acontece quando o campo é o gradiente de alguma função \varphi. O teste das derivadas parciais iguais é uma maneira rápida de detectar isso em 2D.

Passo 3

Agora vamos encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=2xy, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}+\operatorname{sen} y.
Integramos P em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Para determinar h(y), derivamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x^{2}+h'(y) \stackrel{!}{=} x^{2}+\operatorname{sen} y.
Isto implica h'(y)=\operatorname{sen} y. Integrando:
h(y)=\int \operatorname{sen} y\,dy = -\cos y + C,
onde C é constante real (irrelevante para diferenciação de potenciais).
Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{2}y-\cos y + C.
Para simplificar as contas de integrais de linha, podemos tomar C=0, pois cancela na diferença entre extremos.

Passo 4

Aplicamos agora o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (ou Teorema de Gradiente): se \vec{F}=\nabla\varphi e C é uma curva orientada de um ponto A=(x_{A},y_{A}) até um ponto B=(x_{B},y_{B}), então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Isto significa que a integral depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Em particular, usando \varphi(x,y)=x^{2}y-\cos y,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\bigl[x^{2}y-\cos y\bigr]_{(x_{A},y_{A})}^{(x_{B},y_{B})} = x_{B}^{2}y_{B}-\cos y_{B} -\bigl(x_{A}^{2}y_{A}-\cos y_{A}\bigr).
Observação útil: se C for uma curva fechada (começa e termina no mesmo ponto), então A=B e
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Isso é consequência direta da independência do caminho.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): suponha que C vai de A=(1,0) até B=(2,\tfrac{\pi}{2}). Então
\varphi(1,0)=1^{2}\cdot 0 -\cos 0 = -1, \qquad \varphi\!\left(2,\tfrac{\pi}{2}\right)=2^{2}\cdot \tfrac{\pi}{2}-\cos\!\tfrac{\pi}{2}=4\cdot\tfrac{\pi}{2}-0=2\pi.
Logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A)=2\pi-(-1)=2\pi+1.
Isto exemplifica como usar o potencial para calcular rapidamente integrais de linha sem parametrizar C.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\bigl[x^{2}y-\cos y\bigr]_{(x_{A},y_{A})}^{(x_{B},y_{B})} = x_{B}^{2}y_{B}-\cos y_{B} -\bigl(x_{A}^{2}y_{A}-\cos y_{A}\bigr)
\displaystyle
\displaystyle Se C é fechada, \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.

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