Determine
para o campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde o campo vetorial é
Informações relevantes dadas:
- Os componentes do campo são
e . - A curva
não foi especificada no enunciado (nem pontos inicial/final nem se é fechada).
Perguntas implícitas que precisamos responder: - A integral de linha é dependente do caminho ou é dependente só dos extremos?
- Se for independente de caminho (campo conservativo), dar a expressão da integral em termos dos pontos inicial e final; se for fechada, dar o valor correspondente.
Passo 2
Vamos testar se o campo é conservativo (isto é, se existe uma função potencial
tal que
). Critério prático em duas dimensões: se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conexa (aqui
serve) e
então
é conservativo.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em todo
, o campo é conservativo. Em palavras: a rotação (curl) no plano é zero e o domínio é simplesmente conexo, logo existe potencial.
Explicação didática curta: um campo conservativo é aquele cuja integral entre dois pontos não depende do caminho escolhido; isso acontece quando o campo é o gradiente de alguma função
. O teste das derivadas parciais iguais é uma maneira rápida de detectar isso em 2D.
Passo 3
Agora vamos encontrar uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isto implica
. Integrando:
onde
é constante real (irrelevante para diferenciação de potenciais).
Portanto uma função potencial é
Para simplificar as contas de integrais de linha, podemos tomar
, pois cancela na diferença entre extremos.
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (ou Teorema de Gradiente): se
e
é uma curva orientada de um ponto
até um ponto
, então
Isto significa que a integral depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Em particular, usando
,
Observação útil: se
for uma curva fechada (começa e termina no mesmo ponto), então
e
Isso é consequência direta da independência do caminho.
Passo 5
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): suponha que
vai de
até
. Então
Logo
Isto exemplifica como usar o potencial para calcular rapidamente integrais de linha sem parametrizar
.