Desenhe as curvas de nível e determine a imagem da função.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
e descobrir quais valores
pode assumir (a imagem). Vamos trabalhar com nível genérico
e depois concluir sobre a imagem.
Passo 2
Para achar as curvas de nível, igualamos
a uma constante
:
Multiplicando em ambos os lados por
(lembrando que
no domínio), obtemos:
Isso significa que cada curva de nível é a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular
, excluindo-se a linha
(não está no domínio).
Passo 3
Para visualizar, basta desenhar várias retas de diferentes inclinações. Por exemplo:
- Para
: (eixo , sem o ponto ). - Para
: . - Para
: . - Para
: , e assim por diante.
Todas essas retas são as curvas de nível.
Passo 4
Para encontrar a imagem de
, basta notar que, dado qualquer
, podemos escolher, por exemplo,
e
(que é válido pois
) e obter
Portanto,
atinge todo número real.
Resposta
A imagem de
é todo o conjunto dos números reais, isto é,
.