Desenhe as curvas de nível e determine a imagem da função.
f(x, y)=xy

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de f(x,y)=xy e descobrir quais valores f pode assumir (a imagem). Vamos trabalhar com nível genérico c e depois concluir sobre a imagem.

Passo 2

Para achar as curvas de nível, igualamos f(x,y) a uma constante c:
xy=c
Multiplicando em ambos os lados por y (lembrando que yneq0 no domínio), obtemos:
x = c,y
Isso significa que cada curva de nível é a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular c, excluindo-se a linha y=0 (não está no domínio).

Passo 3

Para visualizar, basta desenhar várias retas de diferentes inclinações. Por exemplo:
  • Para c=0: x=0 (eixo y, sem o ponto (0,0)).
  • Para c=1: x=y.
  • Para c=-1: x=-y.
  • Para c=2: x=2y, e assim por diante.
    Todas essas retas são as curvas de nível.

Passo 4

Para encontrar a imagem de f, basta notar que, dado qualquer kinR, podemos escolher, por exemplo, x=k e y=1 (que é válido pois yneq0) e obter f(k,1)=k/1=k Portanto, f atinge todo número real.

Resposta

A imagem de f é todo o conjunto dos números reais, isto é, R.

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