Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente obtenha sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}
e pede três coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos, (2) determinar se a série é convergente ou divergente, e (3) caso seja convergente, obter sua soma.
Informações úteis extraídas do enunciado: o termo geral da série é
a_n = (-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.

Passo 2

Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4 em a_n.
Para n=1:
a_1 = (-1)^{1+1}\frac{3}{2^{1}} = (-1)^{2}\frac{3}{2} = 1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Para n=2:
a_2 = (-1)^{2+1}\frac{3}{2^{2}} = (-1)^{3}\frac{3}{4} = -1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}.
Para n=3:
a_3 = (-1)^{3+1}\frac{3}{2^{3}} = (-1)^{4}\frac{3}{8} = \frac{3}{8}.
Para n=4:
a_4 = (-1)^{4+1}\frac{3}{2^{4}} = (-1)^{5}\frac{3}{16} = -\frac{3}{16}.
Os quatro primeiros termos são, portanto \frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{3}{8}, -\frac{3}{16}.

Passo 3

Observação sobre o padrão: calcule a razão entre termos consecutivos para ver se é geométrica.
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(-1)^{n+2}\frac{3}{2^{\,n+1}}}{(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}} = \frac{(-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}}\cdot\frac{1}{2} = (-1)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Como a razão é constante igual a -\tfrac{1}{2}, a série é uma série geométrica. Podemos escrever a série na forma padrão de uma geométrica com primeiro termo a e razão r:
\text{termo geral} = a\,r^{\,n-1}.
Aqui o primeiro termo (para n=1) é a=\tfrac{3}{2} e a razão é r=-\tfrac{1}{2}. (Verificação rápida: (3/2)(-1/2)^{\,n-1} = 3(-1)^{n-1}/2^{n} = 3(-1)^{n+1}/2^{n}, já que (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}.)

Passo 4

Critério de convergência para séries geométricas: a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
No nosso problema temos r=-\tfrac{1}{2}, então
|r|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1,
portanto a série é convergente.

Passo 5

Cálculo da soma usando a fórmula da geométrica. Com a=\tfrac{3}{2} e r=-\tfrac{1}{2},
S=\frac{a}{1-r}=\frac{\tfrac{3}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})}=\frac{\tfrac{3}{2}}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{3}{2}}=1.
Assim a soma da série é 1.

Resposta

Primeiros quatro termos: \frac{3}{2},\; -\frac{3}{4},\; \frac{3}{8},\; -\frac{3}{16}
Convergência: convergente
Soma: 1

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