Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente obtenha sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}
e pede três coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos, (2) determinar se a série é convergente ou divergente, e (3) caso seja convergente, obter sua soma.
Informações úteis extraídas do enunciado: o termo geral da série é
a_n = (-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
Passo 2
Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4 em a_n.
Como a razão é constante igual a -\tfrac{1}{2}, a série é uma série geométrica. Podemos escrever a série na forma padrão de uma geométrica com primeiro termo a e razão r:
\text{termo geral} = a\,r^{\,n-1}.
Aqui o primeiro termo (para n=1) é a=\tfrac{3}{2} e a razão é r=-\tfrac{1}{2}. (Verificação rápida: (3/2)(-1/2)^{\,n-1} = 3(-1)^{n-1}/2^{n} = 3(-1)^{n+1}/2^{n}, já que (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}.)
Passo 4
Critério de convergência para séries geométricas: a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
No nosso problema temos r=-\tfrac{1}{2}, então
|r|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1,
portanto a série é convergente.
Passo 5
Cálculo da soma usando a fórmula da geométrica. Com a=\tfrac{3}{2} e r=-\tfrac{1}{2},