O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
e então determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores que pode assumir).
Conteúdo necessário: saber que curva de nível é o conjunto e resolver essa equação para obter a forma geométrica; em seguida, analisar os valores possíveis de .
Passo 2
Para achar as curvas de nível, fixamos um valor e resolvemos
Multiplicando,
Se e , isolamos
Isso mostra que, para cada , a curva de nível é um par de retas passando pela origem com coeficiente angular
Passo 3
Analisando os casos extremos:
– Se , a definição exige e . A curva de nível é o eixo menos a origem.
– Se , a equação exige e . A curva de nível é o eixo menos a origem.
Portanto, esquematicamente:
]
Passo 4
Para saber a imagem, notamos que
z = x^2x^2+y^2
é sempre não negativa e satisfaz
0 <= x^2x^2+y^2 <= 1
Além disso,
z=0
acontece sempre que x=0 e yneq0, e
z=1
acontece sempre que y=0 e xneq0. Logo todos os valores entre 0 e 1, inclusive as extremidades, são atingidos.