Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
z=x^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
z = x^2x^2+y^2
e então determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores que z pode assumir).
Conteúdo necessário: saber que curva de nível é o conjunto (x,y)mid f(x,y)=c e resolver essa equação para obter a forma geométrica; em seguida, analisar os valores possíveis de z.

Passo 2

Para achar as curvas de nível, fixamos um valor c e resolvemos
x^2x^2+y^2 = c
Multiplicando,
x^2 = c,(x^2+y^2) Longrightarrow x^2 = c,x^2 + c,y^2 Longrightarrow x^2(1-c) = c,y^2
Se cneq 0 e cneq 1, isolamos
y^2 = 1-cc;x^2 Longrightarrow y = pmraiz1-cc;x
Isso mostra que, para cada cin(0,1), a curva de nível é um par de retas passando pela origem com coeficiente angular
m = pmraiz1-cc

Passo 3

Analisando os casos extremos:
– Se c=0, a definição x^2x^2+y^2=0 exige x=0 e yneq0. A curva de nível é o eixo y menos a origem.
– Se c=1, a equação x^2x^2+y^2=1 exige y=0 e xneq0. A curva de nível é o eixo x menos a origem.
Portanto, esquematicamente:
c=0colon & reta x=0,,;yneq0,[6pt] 0<c<1colon & retas y=pmraiztfrac1-cc;x,[6pt] c=1colon & reta y=0,,;xneq0 ]

Passo 4

Para saber a imagem, notamos que
z = x^2x^2+y^2
é sempre não negativa e satisfaz
0 <= x^2x^2+y^2 <= 1
Além disso,
z=0
acontece sempre que x=0 e yneq0, e
z=1
acontece sempre que y=0 e xneq0. Logo todos os valores entre 0 e 1, inclusive as extremidades, são atingidos.

Resposta

As curvas de nível são
x=0 (eixo y,;c=0), y=pmraiztfrac1-cc;x(0<c<1), y=0 (eixo x,;c=1),
e a imagem da função é [0,1].

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