Exercício 1: Calcule as integrais iteradas:
a) integral1^2 integral1^2 y e^x y d x d y

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral iterada
integraly=1^2integralx=1^2y,e^xy,dx,dy
O conteúdo da matéria é integração de funções exponenciais com argumento linear e integrais iteradas. Primeiro vamos integrar em x, tratando y como constante.

Passo 2

Para a integral interna
integralx=1^2y,e^xy,dx
fazemos a substituição u = x,y, de modo que du = y,dx. Assim
integralx=1^2y,e^xy,dx = integralu=y^u=2ye^u,du = l[e^ur]u=y^u=2y = e^2y-e^y

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, obtemos
integraly=1^2l(e^2y-e^yr),dy = integral1^2e^2y,dy - integral1^2e^y,dy
Calculamos separadamente:
integral e^2y,dy = 12e^2y, integral e^y,dy = e^y
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integral1^2l(e^2y-e^yr),dy = l[tfrac12e^2y-e^yr]1^2 = l(tfrac12e^4-e^2r) - l(tfrac12e^2-er) = tfrac12e^4-tfrac32e^2+e

Resposta

12e^4-32e^2+e

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