Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico:
f(x, y)=x+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=x+3y^2:
  1. As curvas de nível, que são os conjuntos (x,y)mid f(x,y)=k para vários valores de k.
  2. Um esboço do gráfico em três dimensões.
    Para isso vamos usar teoria de curvas de nível (resolver f(x,y)=k) e cortes seccionais (planos x= const ou y= const) para visualizar a superfície.

Passo 2

Calcular as curvas de nível ,f(x,y)=k.
x+3y^2 = k Longrightarrow x = k - 3y^2
Isso mostra que, para cada constante k, a curva de nível é uma parábola no plano xy com vértice em (k,0) e que se abre para a esquerda (porque há o sinal “ -3y^2”).

Passo 3

Descrever e esboçar algumas curvas de nível típicas
Para k=0: x=-3y^2 (vértice em (0,0)).
Para k=1: x=1-3y^2 (vértice em (1,0)).
Para k=-1: x=-1-3y^2 (vértice em (-1,0)).
Cada uma é uma parábola deslocada ao longo do eixo x. No plano xy, as parábolas vão ficando mais à direita conforme k aumenta.

Passo 4

Usar cortes seccionais para esboçar o gráfico em 3D
  1. Plano y= const: para cada fixo y0,
z=f(x,y0)=x+3y0^2
é uma reta de inclinação 1 no plano xz, deslocada verticalmente por 3y0^2.
2. Plano x= const: para cada fixo x0,
z=f(x0,y)=x0+3y^2
é uma parábola em que o coeficiente principal é 3 e o “pico” está em (y=0,z=x0).
Juntando, obtemos uma superfície “regida” por parábolas em planos verticais x= constante e linhas inclinadas em planos y= constante.

Passo 5

Esboço final
  1. No plano xy desenhe várias parábolas x=k-3y^2.
  2. Ao levantar cada ponto (x,y) até z=x+3y^2, nota-se que todas as parábolas em planos x= const viram cortes parabólicos, e as retas de inclinação em planos y= const formam um leque de linhas paralelas.
    O resultado é uma superfície contínua que se parece com um “vale” parabólico que se inclina no sentido de aumento de x.

Resposta

As curvas de nível são
(x,y)mid x+3y^2=kLongrightarrow x=k-3y^2,;kinR,
ou seja, parábolas com vértice em (k,0) abrindo para a esquerda.
O gráfico de f é uma superfície cujas seções por x= constante são parábolas ,z=x+3y^2 e por y= constante são retas inclinadas ,z=x+3y0^2, formando um vale parabólico inclinado.

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