Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
- As curvas de nível, que são os conjuntos
para vários valores de . - Um esboço do gráfico em três dimensões.
Para isso vamos usar teoria de curvas de nível (resolver) e cortes seccionais (planos const ou const) para visualizar a superfície.
Passo 2
Calcular as curvas de nível
.
Isso mostra que, para cada constante
, a curva de nível é uma parábola no plano
com vértice em
e que se abre para a esquerda (porque há o sinal “
”).
Passo 3
Descrever e esboçar algumas curvas de nível típicas
Para :
(vértice em
).
Para :
(vértice em
).
Para :
(vértice em
).
Cada uma é uma parábola deslocada ao longo do eixo . No plano
, as parábolas vão ficando mais à direita conforme
aumenta.
Para
Para
Para
Cada uma é uma parábola deslocada ao longo do eixo
Passo 4
Usar cortes seccionais para esboçar o gráfico em 3D
- Plano
const: para cada fixo ,
é uma reta de inclinação
no plano
, deslocada verticalmente por
.
2. Plano const: para cada fixo
,
2. Plano
é uma parábola em que o coeficiente principal é
e o “pico” está em
.
Juntando, obtemos uma superfície “regida” por parábolas em planos verticais
constante e linhas inclinadas em planos
constante.
Passo 5
Esboço final
- No plano
desenhe várias parábolas . - Ao levantar cada ponto
até , nota-se que todas as parábolas em planos const viram cortes parabólicos, e as retas de inclinação em planos const formam um leque de linhas paralelas.
O resultado é uma superfície contínua que se parece com um “vale” parabólico que se inclina no sentido de aumento de.
Resposta
As curvas de nível são
ou seja, parábolas com vértice em
abrindo para a esquerda.
O gráfico de é uma superfície cujas seções por
constante são parábolas
e por
constante são retas inclinadas
, formando um vale parabólico inclinado.
O gráfico de