Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico
Passo 1
Neste exercício temos a função f(x,y)=
. O que se pede é traçar as curvas de nível (contornos onde f é constante) e esboçar o gráfico 3D dessa superfície. Para isso vamos usar conceitos de curvas de nível e simetria radial.
Passo 2
Para obter as curvas de nível definimos f(x,y)=k, onde k é um número real não negativo (pois a raiz quadrada nunca dá valor negativo). Assim temos
.
Elevando ao quadrado ambos os lados chegamos a
Elevando ao quadrado ambos os lados chegamos a
Isso mostra que, para cada k≥0, a curva de nível é um círculo de raio k centrado na origem.
Passo 3
Para esboçar as curvas de nível basta desenhar círculos concêntricos de raios k=0,1,2,3,… no plano xy. O círculo de raio zero é apenas o ponto (0,0).
Passo 4
Para o gráfico 3D, note a simetria radial: a função depende só da distância ao eixo z. Se fixarmos uma direção (por exemplo y=0), a seção é z=|x|, ou seja um “V”. Rotacionando esse “V” em torno do eixo z obtemos um cone circular reto de equação z=
, com vértice na origem e superfícies inclinadas a 45°.
Resposta
As curvas de nível são círculos x2+y2=k^2 (k≥0) centrados na origem, e o gráfico de z=
é um cone circular reto com vértice na origem.