Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico
f(x, y)=raizx^2+y^2

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x,y)= raizx^2+y^2. O que se pede é traçar as curvas de nível (contornos onde f é constante) e esboçar o gráfico 3D dessa superfície. Para isso vamos usar conceitos de curvas de nível e simetria radial.

Passo 2

Para obter as curvas de nível definimos f(x,y)=k, onde k é um número real não negativo (pois a raiz quadrada nunca dá valor negativo). Assim temos raizx^2+y^2=k.
Elevando ao quadrado ambos os lados chegamos a
x^2+y^2=k^2
Isso mostra que, para cada k≥0, a curva de nível é um círculo de raio k centrado na origem.

Passo 3

Para esboçar as curvas de nível basta desenhar círculos concêntricos de raios k=0,1,2,3,… no plano xy. O círculo de raio zero é apenas o ponto (0,0).

Passo 4

Para o gráfico 3D, note a simetria radial: a função depende só da distância ao eixo z. Se fixarmos uma direção (por exemplo y=0), a seção é z=|x|, ou seja um “V”. Rotacionando esse “V” em torno do eixo z obtemos um cone circular reto de equação z= raizx^2+y^2, com vértice na origem e superfícies inclinadas a 45°.

Resposta

As curvas de nível são círculos x2+y2=k^2 (k≥0) centrados na origem, e o gráfico de z= raizx^2+y^2 é um cone circular reto com vértice na origem.

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