Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções (a, b, omega e theta são constantes):
(senh(a t))^2

Passo 1

Então, temos que encontrar a Transformada de Laplace da função . Vamos usar a propriedade de linearidade e uma tabela de transformadas de Laplace para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace e das identidades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever senh^2(a t) = cosh(2 a t) - 12 usando uma identidade hiperbólica. Sabemos que:
Isso nos ajuda a simplificar a função para aplicar a Transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na expressão Lsenh^2(a t) = 12 Lcosh(2 a t) - 12 L1 . Usando a linearidade da Transformada de Laplace, podemos separar os termos:

Passo 4

Consultando a tabela de transformadas de Laplace, temos que:
Lcosh(b t) = ss^2 - b^2
E
L1 = 1s
Aqui, .

Passo 5

Substituindo esses resultados na nossa expressão:
Lsenh^2(a t) = 12 cdot ss^2 - (2a)^2 - 12 cdot 1s
Simplificando os termos:
Lsenh^2(a t) = s2(s^2 - 4a^2) - 12s

Passo 6

Podemos unir as frações para simplificar ainda mais:
Lsenh^2(a t) = s^2 - 4a^2 - (s^2 - 4a^2)2s(s^2 - 4a^2)
Após simplificação, obtemos:
Lsenh^2(a t) = 2a^2s(s^2 - 4a^2)

Resposta

A Transformada de Laplace de Lsenh^2(a t) = 2a^2s(s^2 - 4a^2) é:

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