Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível e esboçarmos o gráfico da função $ f(x, y) = 2 - x - 2y $. Aqui, estamos lidando com curvas de nível, que são linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar e desenhar essas curvas e, depois, usar essas informações para esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha: as curvas de nível seriam as linhas que representam diferentes altitudes. Da mesma forma, para a função $ f(x, y) = 2 - x - 2y $, cada curva de nível corresponde a um valor constante de $ f(x, y) $.
Passo 3
Vamos definir um valor constante $ k $ para $ f(x, y) $. Assim, temos:
Nosso objetivo é expressar $ y $ em função de $ x $ para facilitar o desenho das curvas.
Passo 4
Resolvendo a equação para $ y $:
Isso mostra que, para cada valor de $ k $, a curva de nível é uma linha reta com inclinação $ -\frac{1}{2} $ e intercepto no eixo $ y $ em $ 1 - \frac{k}{2} $.
Passo 5
Vamos escolher alguns valores de $ k $ para desenhar diferentes curvas de nível. Por exemplo:
-
Para $ k = 0 $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 2 $:
Cada uma dessas equações representa uma linha reta no plano $ xy $.
Passo 6
Desenhando essas linhas no gráfico:
- A linha para $ k = 0 $ corta o eixo $ y $ em $ 1 $ e tem inclinação $ -\frac{1}{2} $.
- A linha para $ k = 1 $ corta o eixo $ y $ em $ \frac{1}{2} $ e tem a mesma inclinação.
- A linha para $ k = 2 $ passa pela origem com a inclinação $ -\frac{1}{2} $.
Isso nos dá uma série de linhas paralelas que representam as curvas de nível da função.
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 2 - x - 2y $, note que essa é uma função linear em duas variáveis, o que significa que seu gráfico é um plano inclinado no espaço tridimensional.
Para visualizar:
- O plano intercepta o eixo $ z $ (onde $ z = f(x, y) $) em $ z = 2 $ quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
- A inclinação do plano é determinada pelos coeficientes de $ x $ e $ y $.
As curvas de nível que desenhamos são, na verdade, as interseções desse plano com planos horizontais de diferentes alturas $ z = k $.
Resposta
As curvas de nível de $ f(x, y) = 2 - x - 2y $ são linhas retas paralelas com equação $ y = 1 - \frac{x}{2} - \frac{k}{2} $ para diferentes valores de $ k $. O gráfico da função é um plano inclinado no espaço tridimensional, cuja projeção no plano $ xy $ corresponde às curvas de nível desenhadas.