Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções a seguir.
f(x, y)=1+3 y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) desenhar as curvas de nível de f e (2) esboçar o gráfico (superfície) de f.\n
Informações dadas: a função é \;f(x,y)=1+3y\; definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2. Não há outras restrições.

Passo 2

O que são curvas de nível (explicando devagar): são os lugares do plano xy onde a função toma um mesmo valor constante. Formalmente, para um número constante \;c\;, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
Aqui vou aplicar essa definição direto à nossa função.

Passo 3

Substituindo \;f(x,y)=1+3y\; na definição da curva de nível obtemos
1+3y=c.
Agora isolamos y:
y=\frac{c-1}{3}.
Isso significa que, para cada valor fixo de \;c\;, a curva de nível é uma reta horizontal no plano xy com ordenada \;y=(c-1)/3\;. Note que não aparece x na equação: a reta é paralela ao eixo x.

Passo 4

Exemplos concretos de curvas de nível (útil para desenhar): escolha alguns valores de \;c\;, por exemplo \;c=0,\,1,\,4,\,-2\;. Para cada um:
\begin{aligned} c=0 &\Rightarrow y=\frac{0-1}{3}=-\frac{1}{3},\\\ c=1 &\Rightarrow y=\frac{1-1}{3}=0,\\\ c=4 &\Rightarrow y=\frac{4-1}{3}=1,\\\ c=-2 &\Rightarrow y=\frac{-2-1}{3}=-1. \end{aligned}
Para desenhar as curvas de nível no plano xy: trace retas horizontais em y=-\tfrac{1}{3},\,0,\,1,\,-1. Essas retas representam respectivamente os níveis \;c=0,1,4,-2. Elas são igualmente espaçadas em y se os valores de c forem igualmente espaçados, porque um incremento \Delta c corresponde a \Delta y=\Delta c/3.

Passo 5

Agora vamos ao esboço do gráfico 3D (a superfície): a superfície é dada por
z=f(x,y)=1+3y.
Interpretação geométrica: isso é uma reta (plano) em \mathbb{R}^3. Características importantes:
  • Não depende de x: para qualquer valor de x fixo, a curva obtida variando y é uma reta no plano yz com equação z=1+3y.
  • A variação em y tem inclinação 3: ao aumentar y em 1, z aumenta em 3.
  • Quando y=0, z=1. Logo a interseção com o plano z-quando- y=0 (ou a linha y=0) é a reta no espaço (x,0,1) paralela ao eixo x.
  • Quando z=0, temos 0=1+3y\Rightarrow y=-\tfrac{1}{3}. Assim a linha onde a superfície corta o plano z=0 é a reta (x,-\tfrac{1}{3},0), paralela ao eixo x.

Passo 6

Forma vetorial e normal (útil para visualizar): escrevendo a superfície como conjunto de pontos
(x,y,z)=(x,y,1+3y)=(x,0,1)+y(0,1,3).
Isso mostra que, ao mover-se no sentido do eixo y, a superfície sobe com componente vertical 3 e se desloca em y com componente 1; ao mover-se no sentido do eixo x a superfície não muda (direção paralela). O vetor normal ao plano pode ser obtido reescrevendo a equação como z-3y=1, então um vetor normal é (0,-3,1) (ou proporcional).

Passo 7

Como fazer um esboço à mão (passo a passo, sem régua complicada):
  1. Desenhe os eixos x e y no plano (vista superior) e marque algumas retas horizontais correspondentes às curvas de nível y=\frac{c-1}{3} para alguns c. Isso já mostra os contornos da superfície.
  2. Para o gráfico 3D, desenhe um sistema de eixos x,\,y,\,z (por exemplo x para a direita, y para dentro da página, z para cima).
  3. Plote a reta onde y=0: é a linha (x,0,1) — uma reta paralela a x à altura z=1.
  4. Plote outra reta onde y=1: nela z=4, então a reta (x,1,4) é paralela a x e mais alta.
  5. Conecte essas retas formando um plano inclinado que não varia com x. A inclinação segue a regra: movendo-se na direção positiva de y, o plano sobe com razão 3.
  6. Opcional: desenhe algumas linhas de nível projetadas no plano xy e eleve cada linha até a altura z=c para visualizar a correspondência curva-de-nível ↔ altura.

Passo 8

Resumo didático e intuição rápida: as curvas de nível são retas horizontais porque f depende só de y. O gráfico é um plano inclinado que é paralelo ao eixo x e sobe com inclinação 3 na direção y. Isso facilita muito: qualquer seção por um plano x= constante dará uma reta no plano yz com equação z=1+3y; qualquer seção por y= constante dá uma reta horizontal em x à altura z=1+3y.

Resposta

Curvas de nível: \;y=\dfrac{c-1}{3} (retas horizontais no plano xy para cada nível \;c\;).\n
Gráfico (superfície): plano \;z=1+3y\;, paralelo ao eixo x e com inclinação 3 na direção positiva do eixo y.

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