Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) desenhar as curvas de nível de
e (2) esboçar o gráfico (superfície) de
.\n
Informações dadas: a função é definida para todos os pares
. Não há outras restrições.
Informações dadas: a função é
Passo 2
O que são curvas de nível (explicando devagar): são os lugares do plano
onde a função toma um mesmo valor constante. Formalmente, para um número constante
, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos
que satisfazem
Aqui vou aplicar essa definição direto à nossa função.
Passo 3
Substituindo
na definição da curva de nível obtemos
Agora isolamos
:
Isso significa que, para cada valor fixo de
, a curva de nível é uma reta horizontal no plano
com ordenada
. Note que não aparece
na equação: a reta é paralela ao eixo
.
Passo 4
Exemplos concretos de curvas de nível (útil para desenhar): escolha alguns valores de
, por exemplo
. Para cada um:
Para desenhar as curvas de nível no plano
: trace retas horizontais em
. Essas retas representam respectivamente os níveis
. Elas são igualmente espaçadas em
se os valores de
forem igualmente espaçados, porque um incremento
corresponde a
.
Passo 5
Agora vamos ao esboço do gráfico 3D (a superfície): a superfície é dada por
Interpretação geométrica: isso é uma reta (plano) em
. Características importantes:
- Não depende de
: para qualquer valor de fixo, a curva obtida variando é uma reta no plano com equação . - A variação em
tem inclinação : ao aumentar em , aumenta em . - Quando
, . Logo a interseção com o plano -quando- (ou a linha ) é a reta no espaço paralela ao eixo . - Quando
, temos . Assim a linha onde a superfície corta o plano é a reta , paralela ao eixo .
Passo 6
Forma vetorial e normal (útil para visualizar): escrevendo a superfície como conjunto de pontos
Isso mostra que, ao mover-se no sentido do eixo
, a superfície sobe com componente vertical
e se desloca em
com componente
; ao mover-se no sentido do eixo
a superfície não muda (direção paralela). O vetor normal ao plano pode ser obtido reescrevendo a equação como
, então um vetor normal é
(ou proporcional).
Passo 7
Como fazer um esboço à mão (passo a passo, sem régua complicada):
- Desenhe os eixos
e no plano (vista superior) e marque algumas retas horizontais correspondentes às curvas de nível para alguns . Isso já mostra os contornos da superfície. - Para o gráfico 3D, desenhe um sistema de eixos
(por exemplo para a direita, para dentro da página, para cima). - Plote a reta onde
: é a linha — uma reta paralela a à altura . - Plote outra reta onde
: nela , então a reta é paralela a e mais alta. - Conecte essas retas formando um plano inclinado que não varia com
. A inclinação segue a regra: movendo-se na direção positiva de , o plano sobe com razão . - Opcional: desenhe algumas linhas de nível projetadas no plano
e eleve cada linha até a altura para visualizar a correspondência curva-de-nível ↔ altura.
Passo 8
Resumo didático e intuição rápida: as curvas de nível são retas horizontais porque
depende só de
. O gráfico é um plano inclinado que é paralelo ao eixo
e sobe com inclinação
na direção
. Isso facilita muito: qualquer seção por um plano
constante dará uma reta no plano
com equação
; qualquer seção por
constante dá uma reta horizontal em
à altura
.
Resposta
Curvas de nível:
(retas horizontais no plano
para cada nível
).\n
Gráfico (superfície): plano , paralelo ao eixo
e com inclinação
na direção positiva do eixo
.
Gráfico (superfície): plano