Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos as curvas de nível da função para os níveis . Isso envolve entender o que são curvas de nível, que fazem parte de cálculo multivariado, e como manipulamos a função para encontrar essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume o mesmo valor constante, ou seja, , onde é o nível dado. Nosso objetivo é encontrar uma equação para cada nível solicitado.
Passo 3
Vamos substituir por cada valor de nível na equação . Isso nos dará uma relação entre e que representa cada curva de nível.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar, temos:
Agora, vamos isolar para facilitar o desenho das curvas:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 5
Então, para cada nível , a equação da curva de nível é:
Vamos agora substituir cada valor de para obter as curvas específicas.
Passo 6
Substituindo os níveis dados:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, cada uma dessas equações representa uma curva de nível específica:
:
:
:
:
:
Essas são funções polinomiais do quarto grau que, ao serem plotadas no plano , formarão as curvas de nível solicitadas.
Resposta
As curvas de nível da função para os níveis são dadas pelas equações:
Essas equações representam as curvas que você deve desenhar no plano para cada nível especificado.