Desenhe as curvas de nível da função f(x, y)=12(x^2-yx^2), níveis -2,-1,0,1,2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos as curvas de nível da função para os níveis . Isso envolve entender o que são curvas de nível, que fazem parte de cálculo multivariado, e como manipulamos a função para encontrar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume o mesmo valor constante, ou seja, , onde é o nível dado. Nosso objetivo é encontrar uma equação para cada nível solicitado.

Passo 3

Vamos substituir por cada valor de nível na equação . Isso nos dará uma relação entre e que representa cada curva de nível.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar, temos:
x^2 - yx^2 = 2k
Agora, vamos isolar yx^2 = x^2 - 2k para facilitar o desenho das curvas:
y = x^4 - 2k x^2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Então, para cada nível y = x^4 - 2k x^2 , a equação da curva de nível é:
Vamos agora substituir cada valor de para obter as curvas específicas.

Passo 6

Substituindo os níveis dados:
  1. Para y = x^4 - 2(-2) x^2 = x^4 + 4x^2 :
    y = x^4 - 2(-1) x^2 = x^4 + 2x^2
  2. Para y = x^4 - 2(0) x^2 = x^4 :
    y = x^4 - 2(1) x^2 = x^4 - 2x^2
  3. Para y = x^4 - 2(2) x^2 = x^4 - 4x^2 :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 7

Agora, cada uma dessas equações representa uma curva de nível específica:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Essas são funções polinomiais do quarto grau que, ao serem plotadas no plano , formarão as curvas de nível solicitadas.

Resposta

As curvas de nível da função y = x^4 + 4x^2 & para k = -2 y = x^4 + 2x^2 & para k = -1 y = x^4 & para k = 0 y = x^4 - 2x^2 & para k = 1 y = x^4 - 4x^2 & para k = 2 para os níveis são dadas pelas equações:
Essas equações representam as curvas que você deve desenhar no plano para cada nível especificado.

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