Resolva os problemas de valor inicial
;
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem,
com condições
e
. Vamos resolver isso assumindo uma solução da forma
.
Passo 2
Assumimos
. Então calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando os fatores de
chega-se à equação característica.
Passo 3
Extrai-se a equação característica:
O discriminante é
, então a raiz é dupla:
Passo 4
Para raiz dupla
, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
Passo 5
Computamos
para impor as condições iniciais. Derivando
:
que simplifica para
Passo 6
Aplicando
obtemos
. Em seguida,
dá