Resolva os problemas de valor inicial
9 x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0;
y(1)=1 ; y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem, 9x^2y''+3xy'+y=0 com condições y(1)=1 e y'(1)=0. Vamos resolver isso assumindo uma solução da forma y=x^m.

Passo 2

Assumimos y=x^m. Então calculamos as derivadas:
y'=m x^m-1,
y''=m(m-1)x^m-2
Substituindo na equação:
9x^2igl(m(m-1)x^m-2r)+3xigl(mx^m-1r)+x^m=0 
Simplificando os fatores de x^m chega-se à equação característica.

Passo 3

Extrai-se a equação característica:
9m(m-1)+3m+1=0 Longrightarrow 9m^2-6m+1=0
O discriminante é De, então a raiz é dupla:
m=618=13

Passo 4

Para raiz dupla m=1/3, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
y(x)=C1x^13+C2x^13ln(x)

Passo 5

Computamos y' para impor as condições iniciais. Derivando y:
y'(x)=C113x^-23+C2l(13x^-23ln(x)+x^13cdot1xr)
que simplifica para
y'(x)=x^-23l(C13+C2l(tfrac13ln(x)+1r)r)

Passo 6

Aplicando y(1)=1 obtemos C1cdot1^1/3+C2cdot1^1/3ln1=C1=1. Em seguida, y'(1)=0
C13+C2l(tfrac13ln1+1r)=13+C2=0 Longrightarrow C2=-13

Resposta

y(x)=x^13-13x^13ln(x)

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