Determine o domínio e imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções multivariadas, especificamente sobre quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais valores o resultado dessa função pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos analisar as restrições que a função impõe sobre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando para
, vemos que temos um termo
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja,
deve ser maior ou igual a zero:
Além disso,
pode ser qualquer número real porque
está definido para todos os valores de
. Então, não há restrições para
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir com base no domínio que encontramos.
Sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo:
E
também é não negativo:
Então, a função
será a diferença de dois números não negativos. O menor valor que
pode ter é quando
e
é máximo, mas como
pode crescer sem limites,
pode ser tão negativo quanto quisermos. Por outro lado, se
,
, que é sempre não negativo e pode crescer indefinidamente. Então, a imagem da função inclui todos os números reais.
Resposta
O domínio da função é
e
pode ser qualquer número real, ou seja:
A imagem da função é todos os números reais: