Determine o domínio e imagem da função f(x, y)=x^2-raizy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte do conteúdo de funções multivariadas, especificamente sobre quais valores de e a função está definida (domínio) e quais valores o resultado dessa função pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos analisar as restrições que a função impõe sobre e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os pares y >= 0 para os quais a função está bem definida. Olhando para , vemos que temos um termo . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, deve ser maior ou igual a zero:
Além disso, pode ser qualquer número real porque está definido para todos os valores de . Então, não há restrições para .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que x^2 >= 0 pode assumir com base no domínio que encontramos.
Sabemos que raizy >= 0 é sempre maior ou igual a zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo:
E também é não negativo:
Então, a função será a diferença de dois números não negativos. O menor valor que pode ter é quando e é máximo, mas como pode crescer sem limites, pode ser tão negativo quanto quisermos. Por outro lado, se , , que é sempre não negativo e pode crescer indefinidamente. Então, a imagem da função inclui todos os números reais.

Resposta

O domínio da função é Df = (x, y) in R^2 | y >= 0 e Ima>=m(f) = R pode ser qualquer número real, ou seja:
A imagem da função é todos os números reais:

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