Determine o domínio e imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
O denominador não pode ser zero, então precisamos resolver:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do denominador:
Isso nos dá duas condições:
Como
é sempre não negativo,
nunca será zero. Portanto, a única restrição é que
não pode ser zero.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos definir o domínio da função. O domínio é todo o plano
exceto onde
. Em notação matemática:
Passo 5
Vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que
, então podemos reescrever a função:
Como
para todo
, e
pode ser qualquer número real exceto zero,
pode assumir qualquer valor real exceto zero. Portanto, a imagem é:
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
.