Determine o domínio e imagem da função f(x, y)=1x+x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares f(x, y) = 1x + x y^2 para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
x + x y^2 neq 0
O denominador não pode ser zero, então precisamos resolver:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do denominador:
x(1 + y^2) neq 0
Isso nos dá duas condições:
Como é sempre não negativo, nunca será zero. Portanto, a única restrição é que não pode ser zero.

Passo 4

Agora que sabemos que Domínio = (x, y) in R^2 mid x neq 0 , podemos definir o domínio da função. O domínio é todo o plano exceto onde . Em notação matemática:
í

Passo 5

Vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que f(x, y) = 1x(1 + y^2) pode assumir. Sabemos que Ima>=m = R setminus 0 , então podemos reescrever a função:
Como para todo , e pode ser qualquer número real exceto zero, pode assumir qualquer valor real exceto zero. Portanto, a imagem é:

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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