Desenhe as curvas de nível da função
, níveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função
para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4. Curvas de nível são linhas no plano que conectam pontos onde a função assume o mesmo valor. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada um desses níveis e achar as equações correspondentes das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função a 0:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio 1.
Passo 3
Agora, igualamos a função a 1:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando os termos:
Completando o quadrado para
:
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,1) e raio 2.
Passo 4
Vamos igualar a função a 2:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Completando o quadrado para
:
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,2) e raio 3.
Passo 5
Agora, igualamos a função a 3:
Multiplicando:
Rearranjando:
Completando o quadrado para
:
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,3) e raio 4.
Passo 6
Por fim, igualamos a função a 4:
Multiplicando:
Rearranjando:
Completando o quadrado para
:
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,4) e raio 5.
Resposta
As curvas de nível da função
para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4 são círculos com centros em (0, k) e raios
, onde
é o nível escolhido. Especificamente:
- Nível 0: Círculo com centro em (0, 0) e raio 1.
- Nível 1: Círculo com centro em (0, 1) e raio 2.
- Nível 2: Círculo com centro em (0, 2) e raio 3.
- Nível 3: Círculo com centro em (0, 3) e raio 4.
- Nível 4: Círculo com centro em (0, 4) e raio 5.