Desenhe as curvas de nível da função
f(x, y)=x^2+y^2-12(y+1), níveis 0,1,2,3,4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4. Curvas de nível são linhas no plano que conectam pontos onde a função assume o mesmo valor. Para resolver isso, vamos igualar a função a cada um desses níveis e achar as equações correspondentes das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função a 0:
x^2 + y^2 - 12(y + 1) = 0
Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2 - 1 = 0 para eliminar o denominador:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 3

Agora, igualamos a função a 1:
x^2 + y^2 - 12(y + 1) = 1
Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2 - 1 = 2(y + 1) :
x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0
Rearranjando os termos:
x^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0
Completando o quadrado para :
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,1) e raio 2.

Passo 4

Vamos igualar a função a 2:
x^2 + y^2 - 12(y + 1) = 2
Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2 - 1 = 4(y + 1) :
x^2 + y^2 - 4y - 5 = 0
Rearranjando:
x^2 + (y - 2)^2 - 9 = 0
Completando o quadrado para :
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,2) e raio 3.

Passo 5

Agora, igualamos a função a 3:
x^2 + y^2 - 12(y + 1) = 3
Multiplicando:
x^2 + y^2 - 1 = 6(y + 1)
Rearranjando:
x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0
Completando o quadrado para x^2 + (y - 3)^2 - 16 = 0 :
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,3) e raio 4.

Passo 6

Por fim, igualamos a função a 4:
x^2 + y^2 - 12(y + 1) = 4
Multiplicando:
x^2 + y^2 - 1 = 8(y + 1)
Rearranjando:
x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0
Completando o quadrado para x^2 + (y - 4)^2 - 25 = 0 :
Essa é a equação de um círculo com centro em (0,4) e raio 5.

Resposta

As curvas de nível da função para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4 são círculos com centros em (0, k) e raios , onde é o nível escolhido. Especificamente:
  • Nível 0: Círculo com centro em (0, 0) e raio 1.
  • Nível 1: Círculo com centro em (0, 1) e raio 2.
  • Nível 2: Círculo com centro em (0, 2) e raio 3.
  • Nível 3: Círculo com centro em (0, 3) e raio 4.
  • Nível 4: Círculo com centro em (0, 4) e raio 5.

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