Encontre o vetor v como norma |v|=4 e que tenha a mesma direção e sentido do vetor u=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor v que tenha comprimento (ou norma) igual a 4 e que a direção e o sentido sejam iguais aos do vetor u = (1,1). Para isso, vamos usar conceitos de normalização de vetores e de como escalonar um vetor mantendo sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor u. A norma de um vetor a = (a1, a2) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Então, para u = (1,1):
|u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 3

Agora, queremos um vetor na mesma direção de u, mas com norma 4. Para isso, vamos primeiro encontrar o vetor unitário na direção de u. Um vetor unitário tem norma igual a 1 e é encontrado dividindo cada componente do vetor original pela sua norma.
Então, o vetor unitário uunit é:
uunit = u|u| = ( 1raiz2, 1raiz2 )

Passo 4

Agora, para obter o vetor v com norma 4, vamos multiplicar o vetor unitário pelo valor da norma desejada:
v = 4 cdot uunit = 4 cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = ( 4raiz2, 4raiz2 )

Passo 5

Podemos simplificar as frações multiplicando numerador e denominador por raiz2:
4raiz2 = 4 cdot raiz22 = 2raiz2
Então, o vetor v fica:
v = ( 2raiz2, 2raiz2 )

Resposta

O vetor v é ( 2raiz2, 2raiz2 ).

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