Desenhe as curvas de nível da função: (níveis
)
Passo 1
O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função
para os níveis
.
Informações e condições dadas:
- A função é
. - Os níveis pedidos são
. Para cada nível queremos o conjunto . - Domínio óbvio da função:
(pois aparece no denominador). - Não há outra figura fornecida; o desenho será feito a partir das equações das curvas de nível.
Passo 2
Escrevemos a equação de nível genérica para um nível fixo
:
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem ambiguidade:
Essa é a equação que vamos manipular para entender a forma geométrica (círculo, reta, etc.) das curvas de nível.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação em
e
. Subtraindo
de ambos os lados:
Agora completamos o quadrado em
. Observe que
Substituindo isso na equação:
Isolando os termos quadráticos à esquerda:
Simplificando o lado direito:
Portanto a equação da curva de nível
é
Passo 4
Interpretação geométrica dessa equação:
- É a equação de um círculo com centro em
e raio
desde que
seja real (ou seja, desde que
).
Condição de existência real do círculo:
Como os níveis pedidos são
(todos não-negativos), cada um produz um círculo real.
Também devemos lembrar que
. É importante verificar se os círculos eventualmente atingem
. Para
vale a desigualdade
o que mostra que o ponto mais baixo do círculo fica acima da linha
. (Isto pode ser verificado rapidamente ao notar que
para
.) Logo, os círculos para
estão inteiramente no conjunto onde
é definida.
Passo 5
Pontos úteis para desenhar cada círculo (fáceis de calcular na prova):
- Interseção com o eixo
( ): substituir na equação original dá . Logo os pontos de interseção com o eixo são
Esses pontos são rápidos para marcar no esboço.
- Extremos verticalmente (mais alto e mais baixo): as ordenadas extremas do círculo são
- Centro do círculo:
. - Raio:
.
Com essas informações dá para traçar cada círculo com boa precisão sem calculadora, marcando centro, interseção com
e a altitude máxima e mínima.
Passo 6
Vamos calcular explicitamente centro, raio e interseções com eixo
para cada nível pedido
. Mostrar os cálculos de forma prática (números exatos quando possível):
Para
:
Interseção com eixo
:
.
Para
:
Interseção com eixo
:
.
Para
:
Interseção com eixo
:
.
Para
:
Interseção com eixo
:
.
Para
:
Interseção com eixo
:
.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar (esboço manual):
- Trace o eixo
e e marque a linha proibida com traço (a função não está definida ali). - Para cada
: - Marque o centro em
sobre o eixo . - Marque os pontos de interseção com o eixo
em . - Com compasso (ou à mão), desenhe o círculo de raio
.
- Marque o centro em
- Observe que, à medida que
aumenta, o centro sobe ao longo do eixo e o raio aumenta; os círculos são concêntricos verticalmente (todos centrados no eixo ), mas têm centros diferentes (não são concentricos com mesmo centro: todos estão sobre , mas com alturas distintas). - Verifique que nenhum desses círculos cruza
; todos ficam acima dessa reta.