Desenhe as curvas de nível da função: (níveis 1,2,3,4,5 )
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y+1}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y+1} para os níveis 1,2,3,4,5.
Informações e condições dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y+1}.
  • Os níveis pedidos são c=1,2,3,4,5. Para cada nível c queremos o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
  • Domínio óbvio da função: y\neq -1 (pois aparece y+1 no denominador).
  • Não há outra figura fornecida; o desenho será feito a partir das equações das curvas de nível.

Passo 2

Escrevemos a equação de nível genérica para um nível fixo c:
\frac{x^{2}+y^{2}}{y+1}=c.
Como y\neq -1, podemos multiplicar ambos os lados por y+1 sem ambiguidade:
x^{2}+y^{2}=c(y+1).
Essa é a equação que vamos manipular para entender a forma geométrica (círculo, reta, etc.) das curvas de nível.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação em x e y. Subtraindo c(y+1) de ambos os lados:
x^{2}+y^{2}-c y - c = 0.
Agora completamos o quadrado em y. Observe que
y^{2}-c y = \left(y-\frac{c}{2}\right)^{2} - \left(\frac{c}{2}\right)^{2}.
Substituindo isso na equação:
x^{2} + \left(y-\frac{c}{2}\right)^{2} - \left(\frac{c}{2}\right)^{2} - c = 0.
Isolando os termos quadráticos à esquerda:
x^{2} + \left(y-\frac{c}{2}\right)^{2} = \left(\frac{c}{2}\right)^{2} + c.
Simplificando o lado direito:
\left(\frac{c}{2}\right)^{2} + c = \frac{c^{2}}{4} + c = \frac{c(c+4)}{4}.
Portanto a equação da curva de nível c é
x^{2}+\left(y-\frac{c}{2}\right)^{2}=\frac{c(c+4)}{4}.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa equação:
  • É a equação de um círculo com centro em \left(0,\dfrac{c}{2}\right) e raio
r=\frac{\sqrt{c(c+4)}}{2},
desde que r seja real (ou seja, desde que \dfrac{c(c+4)}{4}\ge 0).
Condição de existência real do círculo:
\frac{c(c+4)}{4}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c(c+4)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c\ge 0\text{ ou }c\le -4.
Como os níveis pedidos são c=1,2,3,4,5 (todos não-negativos), cada um produz um círculo real.
Também devemos lembrar que y\neq -1. É importante verificar se os círculos eventualmente atingem y=-1. Para c\ge 0 vale a desigualdade
\frac{c}{2} - \frac{\sqrt{c(c+4)}}{2} > -1,
o que mostra que o ponto mais baixo do círculo fica acima da linha y=-1. (Isto pode ser verificado rapidamente ao notar que (c+2)^{2} > c(c+4) para c\ge 0.) Logo, os círculos para c=1,2,3,4,5 estão inteiramente no conjunto onde f é definida.

Passo 5

Pontos úteis para desenhar cada círculo (fáceis de calcular na prova):
  • Interseção com o eixo x ( y=0): substituir y=0 na equação original dá x^{2}=c. Logo os pontos de interseção com o eixo x são
(x,y)=(\pm\sqrt{c},\,0).
Esses pontos são rápidos para marcar no esboço.
  • Extremos verticalmente (mais alto e mais baixo): as ordenadas extremas do círculo são
y_{\text{max/min}}=\frac{c}{2}\pm\frac{\sqrt{c(c+4)}}{2}.
  • Centro do círculo: \left(0,\dfrac{c}{2}\right).
  • Raio: r=\dfrac{\sqrt{c(c+4)}}{2}.
Com essas informações dá para traçar cada círculo com boa precisão sem calculadora, marcando centro, interseção com x e a altitude máxima e mínima.

Passo 6

Vamos calcular explicitamente centro, raio e interseções com eixo x para cada nível pedido c=1,2,3,4,5. Mostrar os cálculos de forma prática (números exatos quando possível):
Para c=1:
\text{centro }=\left(0,\tfrac{1}{2}\right),\qquad r=\frac{\sqrt{1\cdot5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Interseção com eixo x: x=\pm\sqrt{1}=\pm1.
Para c=2:
\text{centro }=\left(0,1\right),\qquad r=\frac{\sqrt{2\cdot6}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}.
Interseção com eixo x: x=\pm\sqrt{2}.
Para c=3:
\text{centro }=\left(0,\tfrac{3}{2}\right),\qquad r=\frac{\sqrt{3\cdot7}}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.
Interseção com eixo x: x=\pm\sqrt{3}.
Para c=4:
\text{centro }=\left(0,2\right),\qquad r=\frac{\sqrt{4\cdot8}}{2}=\frac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}.
Interseção com eixo x: x=\pm\sqrt{4}=\pm2.
Para c=5:
\text{centro }=\left(0,\tfrac{5}{2}\right),\qquad r=\frac{\sqrt{5\cdot9}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.
Interseção com eixo x: x=\pm\sqrt{5}.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar (esboço manual):
  • Trace o eixo x e y e marque a linha proibida y=-1 com traço (a função não está definida ali).
  • Para cada c\in\{1,2,3,4,5\}:
    • Marque o centro em \left(0,\dfrac{c}{2}\right) sobre o eixo y.
    • Marque os pontos de interseção com o eixo x em x=\pm\sqrt{c}.
    • Com compasso (ou à mão), desenhe o círculo de raio r=\dfrac{\sqrt{c(c+4)}}{2}.
  • Observe que, à medida que c aumenta, o centro sobe ao longo do eixo y e o raio aumenta; os círculos são concêntricos verticalmente (todos centrados no eixo y), mas têm centros diferentes (não são concentricos com mesmo centro: todos estão sobre x=0, mas com alturas distintas).
  • Verifique que nenhum desses círculos cruza y=-1; todos ficam acima dessa reta.

Resposta

c=1:\quad x^{2}+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{5}{4}\quad\text{(centro }(0,\tfrac{1}{2}),\;r=\dfrac{\sqrt{5}}{2})\n
c=2:\quad x^{2}+\left(y-1\right)^{2}=3\quad\text{(centro }(0,1),\;r=\sqrt{3})\n
c=3:\quad x^{2}+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{21}{4}\quad\text{(centro }(0,\tfrac{3}{2}),\;r=\dfrac{\sqrt{21}}{2})\n
c=4:\quad x^{2}+\left(y-2\right)^{2}=8\quad\text{(centro }(0,2),\;r=2\sqrt{2})\n
c=5:\quad x^{2}+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{45}{4}\quad\text{(centro }(0,\tfrac{5}{2}),\;r=\dfrac{3\sqrt{5}}{2})

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