Desenhe as curvas de nível da função: (níveis -2,-1,0,1,2 )
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}-1}{y}

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe as curvas de nível da função f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}-1}{y} para os níveis k=-2,-1,0,1,2.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}-1}{y}.
  • Os níveis pedidos são k\in\{-2,-1,0,1,2\}; para cada k precisamos a curva \{(x,y)\mid f(x,y)=k\}.
  • Importante: a função não está definida quando y=0 (pois temos divisão por zero). Logo o domínio é \{(x,y)\mid y\neq0\}. Não devo incluir pontos com y=0 nas curvas de nível.

Passo 2

Vamos escrever a equação da curva de nível para um k genérico e transformar de modo a identificar que tipo de curva é. Parto de
\frac{x^{2}+y^{2}-1}{y}=k,
válido apenas para y\neq0. Multiplicando ambos os lados por y (lembrando a condição y\neq0):
x^{2}+y^{2}-1 = ky.
Reorganizando:
x^{2}+y^{2}-ky-1=0.

Passo 3

Agora completo o quadrado em y para reconhecer a forma de uma circunferência. Para isso escrevo
x^{2}+\bigl(y-\tfrac{k}{2}\bigr)^{2}-\frac{k^{2}}{4}-1=0.
Isolando a soma de quadrados:
x^{2}+\bigl(y-\tfrac{k}{2}\bigr)^{2}=1+\frac{k^{2}}{4}.
Esta é a equação de uma circunferência com centro em \bigl(0,\tfrac{k}{2}\bigr) e raio
r=\sqrt{1+\frac{k^{2}}{4}}.
Lembrete: tudo isso vale apenas para pontos com y\neq0. Portanto, as curvas de nível são essas circunferências, mas sem quaisquer pontos que tenham y=0.

Passo 4

Agora calculo explicitamente centro e raio para cada nível pedido.
Para k=-2:
  • Centro: \bigl(0,\tfrac{-2}{2}\bigr)=(0,-1).
  • Raio: r=\sqrt{1+\dfrac{(-2)^{2}}{4}}=\sqrt{1+\dfrac{4}{4}}=\sqrt{2}.
    Equação: x^{2}+(y+1)^{2}=2. Lembrar: pontos com y=0 (isto é, (\pm1,0)) não pertencem à curva porque f não está definida em y=0.
Para k=-1:
  • Centro: \bigl(0,\tfrac{-1}{2}\bigr)=(0,-\tfrac{1}{2}).
  • Raio: r=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
    Equação: x^{2}+\bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{5}{4}. Novamente excluir pontos com y=0.
Para k=0:
  • Centro: \bigl(0,0\bigr).
  • Raio: r=\sqrt{1+\dfrac{0}{4}}=1.
    Equação: x^{2}+y^{2}=1. Porém (\pm1,0) têm y=0 e não pertencem à curva de nível porque f não está definida lá — então essa circunferência perde esses dois pontos.
Para k=1:
  • Centro: \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Raio: r=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
    Equação: x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{5}{4}. Excluir y=0.
Para k=2:
  • Centro: \bigl(0,1\bigr).
  • Raio: r=\sqrt{1+\dfrac{4}{4}}=\sqrt{2}.
    Equação: x^{2}+(y-1)^{2}=2. Excluir y=0.

Passo 5

Observações úteis para o desenho (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Todas as curvas são circunferências cujo centro está sobre o eixo y (coordenada x=0), em y=\tfrac{k}{2}.
  • O raio de cada circunferência é \sqrt{1+\tfrac{k^{2}}{4}}, sempre maior que zero. Assim as circunferências existem para qualquer k.
  • Todas as circunferências passam (algebricamente) pelos pontos (\pm1,0) — verificar substituindo y=0 na equação completada leva a x^{2}=1. Contudo, como a função não está definida em y=0, esses dois pontos (1,0) e (-1,0) devem ser retirados das curvas de nível (devem aparecer como “buracos” nas circunferências no desenho).
  • As curvas para k e -k são espelho uma da outra em relação ao eixo x (mesmo raio, centros refletidos).
  • Para desenhar: marque os centros \bigl(0,\tfrac{k}{2}\bigr), desenhe a circunferência de raio indicado e apague/os deixe vazados os pontos onde y=0 (em x=\pm1).

Resposta

k=-2:\;x^{2}+(y+1)^{2}=2 (centro (0,-1), raio \sqrt{2}; pontos com y=0 excluídos)\n
k=-1:\;x^{2}+\bigl(y+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{5}{4} (centro (0,-\tfrac{1}{2}), raio \tfrac{\sqrt{5}}{2}; pontos com y=0 excluídos)\n
k=0:\;x^{2}+y^{2}=1 (centro (0,0), raio 1; pontos com y=0 excluídos)\n
k=1:\;x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{5}{4} (centro (0,\tfrac{1}{2}), raio \tfrac{\sqrt{5}}{2}; pontos com y=0 excluídos)\n
k=2:\;x^{2}+(y-1)^{2}=2 (centro (0,1), raio \sqrt{2}; pontos com y=0 excluídos)

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