Desenhe as curvas de nível da função: (níveis
)
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe as curvas de nível da função
para os níveis
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - Os níveis pedidos são
; para cada precisamos a curva . - Importante: a função não está definida quando
(pois temos divisão por zero). Logo o domínio é . Não devo incluir pontos com nas curvas de nível.
Passo 2
Vamos escrever a equação da curva de nível para um
genérico e transformar de modo a identificar que tipo de curva é. Parto de
válido apenas para
. Multiplicando ambos os lados por
(lembrando a condição
):
Reorganizando:
Passo 3
Agora completo o quadrado em
para reconhecer a forma de uma circunferência. Para isso escrevo
Isolando a soma de quadrados:
Esta é a equação de uma circunferência com centro em
e raio
Lembrete: tudo isso vale apenas para pontos com
. Portanto, as curvas de nível são essas circunferências, mas sem quaisquer pontos que tenham
.
Passo 4
Agora calculo explicitamente centro e raio para cada nível pedido.
Para
:
- Centro:
. - Raio:
Equação:. Lembrar: pontos com (isto é, ) não pertencem à curva porque não está definida em .
Para
:
- Centro:
. - Raio:
Equação:Novamente excluir pontos com .
Para
:
- Centro:
. - Raio:
Equação:Porém têm e não pertencem à curva de nível porque não está definida lá — então essa circunferência perde esses dois pontos.
Para
:
- Centro:
. - Raio:
Equação:Excluir .
Para
:
- Centro:
. - Raio:
Equação:Excluir .
Passo 5
Observações úteis para o desenho (como desenhar na prova, passo a passo):
- Todas as curvas são circunferências cujo centro está sobre o eixo
(coordenada ), em . - O raio de cada circunferência é
, sempre maior que zero. Assim as circunferências existem para qualquer . - Todas as circunferências passam (algebricamente) pelos pontos
— verificar substituindo na equação completada leva a . Contudo, como a função não está definida em , esses dois pontos e devem ser retirados das curvas de nível (devem aparecer como “buracos” nas circunferências no desenho). - As curvas para
e são espelho uma da outra em relação ao eixo (mesmo raio, centros refletidos). - Para desenhar: marque os centros
, desenhe a circunferência de raio indicado e apague/os deixe vazados os pontos onde (em ).