Desenhe as curvas de nível da função: (níveis -2,-1,0,1,2 )
f(x, y)=\frac{x^{2}}{2 x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função f(x,y)=\dfrac{x^{2}}{2x-y^{2}} para os níveis -2,-1,0,1,2.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}}{2x-y^{2}}.
  • Os níveis solicitados são k\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  • A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando 2x-y^{2}=0 (isto é a parábola x=\dfrac{y^{2}}{2}). Esses pontos devem ser excluídos das curvas de nível (se aparecerem algebraicamente, são soluções extranhas).
  • Objetivo: obter as equações das curvas de nível f(x,y)=k e interpretar geometricamente (tipo de cônicas, centro, eixos, assíntotas) para fazer o desenho.

Passo 2

Obter a equação geral das curvas de nível. Para um nível fixo k escrevemos
\frac{x^{2}}{2x-y^{2}}=k.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador (lembrando de que isso só é válido quando 2x-y^{2}\neq0), obtemos
x^{2}=k(2x-y^{2}).
Reorganizando:
x^{2}-2k x + k y^{2}=0.
Agora completamos o quadrado em x. Somando e subtraindo k^{2}:
(x-k)^{2}-k^{2}+k y^{2}=0.
Isto é
(x-k)^{2}=k(k-y^{2}).
Para k\neq 0 podemos dividir por k^{2} e escrever numa forma padrão:
\frac{(x-k)^{2}}{k^{2}}+\frac{y^{2}}{k}=1.
Observação importante: ao derivar essas equações algebraicas devemos sempre excluir os pontos onde 2x-y^{2}=0, pois nesses pontos a função original não está definida (mesmo que satisfaçam a identidade algébrica).

Passo 3

Classificação das curvas para k\neq 0 a partir da forma
\frac{(x-k)^{2}}{k^{2}}+\frac{y^{2}}{k}=1.
  • Se k>0: o segundo termo \dfrac{y^{2}}{k} é positivo e a soma das parcelas iguala 1. Logo é uma elipse centrada em (k,0).
    • Semi-eixo horizontal: a=|k|=k (pois k>0).
    • Semi-eixo vertical: b=\sqrt{k}.
    • Pontos notáveis: ápices verticais (k,\pm\sqrt{k}) e intersecção com o eixo y=0 dada por x=2k (o outro enunciado algébrico x=0 corresponde ao ponto (0,0), que deve ser excluído porque anula o denominador).
    • Domínio em y: |y|\le\sqrt{k} (elipse fechada).
  • Se k<0: escrevemos k=-|k| e a equação fica
\frac{(x-k)^{2}}{k^{2}}-\frac{y^{2}}{|k|}=1,
que é uma hipérbole centrada em (k,0) com eixo transverse na direção x.
  • Semi-eixo transverse: a=|k|.
  • Semi-eixo conjugado: b=\sqrt{|k|}.
  • Assíntotas (forma padrão \dfrac{(x-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1): são
y=\pm\frac{b}{a}(x-k)=\pm\frac{1}{\sqrt{|k|}}(x-k).
  • A hipérbole existe para todos os y (ramos abertos), já que a expressão dentro da raiz no cálculo explícito de x é sempre positiva para k<0.

Passo 4

Caso especial k=0. Colocando k=0 em x^{2}=k(2x-y^{2}) obtemos simplesmente
x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Mas é preciso garantir denominador diferente de zero: para pontos com x=0 o denominador é 2\cdot0-y^{2}=-y^{2}, que só é zero quando y=0. Portanto a curva de nível k=0 é a reta vertical
x=0,\quad y\neq 0.
O ponto (0,0) é excluído porque anula o denominador (função indefinida).

Passo 5

Expressões explícitas das curvas (forma para plotar parametricamente ou em função de y).
Da equação (x-k)^{2}=k(k-y^{2}), para k\neq 0 podemos resolver para x:
x=k\pm\sqrt{k(k-y^{2})}.
  • Se k>0: a raiz exige k-y^{2}\ge 0, então |y|\le\sqrt{k}. Isso dá as duas metades da elipse (ramo superior e inferior).
  • Se k<0: a quantidade k(k-y^{2})=k^{2}-k y^{2}=|k|(|k|+y^{2})>0 para todo y, então o x é real para todo y e a hipérbole tem ramos que se estendem para |y|\to\infty.
Parametrizações úteis para desenhar:
  • Para k>0 (elipse): usar parâmetro \theta,
x=k+k\cos\theta,\qquad y=\sqrt{k}\sin\theta,
que satisfazem \dfrac{(x-k)^{2}}{k^{2}}+\dfrac{y^{2}}{k}=1.
  • Para k<0 (hipérbole): usar parâmetro hiperbólico t,
x=k\pm |k|\operatorname{cosh} t,\qquad y=\sqrt{|k|}\operatorname{sinh} t,
que satisfazem \dfrac{(x-k)^{2}}{k^{2}}-\dfrac{y^{2}}{|k|}=1.

Passo 6

Agora liste as curvas para os níveis pedidos, com números e pontos para traçar à mão (pontos-chave e assíntotas):
  • Para k=1: \frac{(x-1)^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{1}=1\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.É um círculo de centro (1,0) e raio 1. Pontos úteis: (1,\pm1), (2,0). O ponto (0,0) aparece na equação algébrica mas é excluído (denominador zero).
  • Para k=2: \frac{(x-2)^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1.Elipse centrada em (2,0), semi-eixos a=2 (horizontal) e b=\sqrt{2} (vertical). Pontos úteis: (2,\pm\sqrt{2}), (4,0). Novamente (0,0) aparece algebraicamente mas está excluído.
  • Para k=-1: \frac{(x+1)^{2}}{1^{2}}-\frac{y^{2}}{1}=1\quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^{2}-y^{2}=1.Hipérbole centrada em (-1,0) com a=1, b=1. Assíntotas: y=\pm (x+1). Interseções com o eixo x: x=0 e x=-2 (o ponto (0,0) deve ser excluído por anular o denominador, apesar de satisfazer a equação algébrica).
  • Para k=-2: \frac{(x+2)^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1.Hipérbole centrada em (-2,0) com a=2, b=\sqrt{2}. Assíntotas: y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(x+2).
  • Para k=0: x=0,\quad y\neq 0.Reta vertical sobre o eixo y, exceto o ponto (0,0).

Passo 7

Sugestão prática de desenho (passo a passo para traçar à mão no papel):
  • Desenhe primeiro a parábola proibida x=\dfrac{y^{2}}{2} (onde a função é indefinida). Marque que as curvas não podem cruzá‑la.
  • Desenhe os centros (k,0) para cada k: (-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0).
  • Para k=1: desenhe o círculo centrado em (1,0), raio 1, retire o ponto (0,0) se aparecer.
  • Para k=2: desenhe a elipse centrada em (2,0) com semi-eixos 2 e \sqrt{2}.
  • Para k=-1 e k=-2: desenhe as hipérboles centradas em (-1,0) e (-2,0). Trace também as assíntotas correspondentes para guiar os ramos.
  • Para k=0: desenhe a reta x=0 sem o ponto (0,0).
  • Verifique que nenhuma curva atravessa a parábola x=\dfrac{y^{2}}{2}; se a equação algébrica indicar (0,0) para algum k, elimine esse ponto (é indeterminação da função).

Resposta

k=-2:\quad \dfrac{(x+2)^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{2}=1.\n
k=-1:\quad (x+1)^{2}-y^{2}=1.\n
k=0:\quad x=0,\; y\neq 0.\n
k=1:\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.\n
k=2:\quad \dfrac{(x-2)^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1.

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