Desenhe as curvas de nível da função: (níveis
)
Passo 1
O enunciado pede: desenhar as curvas de nível da função
para os níveis
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - Os níveis solicitados são
. - A função não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando
(isto é a parábola ). Esses pontos devem ser excluídos das curvas de nível (se aparecerem algebraicamente, são soluções extranhas). - Objetivo: obter as equações das curvas de nível
e interpretar geometricamente (tipo de cônicas, centro, eixos, assíntotas) para fazer o desenho.
Passo 2
Obter a equação geral das curvas de nível. Para um nível fixo
escrevemos
Multiplicando ambos os lados pelo denominador (lembrando de que isso só é válido quando
), obtemos
Reorganizando:
Agora completamos o quadrado em
. Somando e subtraindo
:
Isto é
Para
podemos dividir por
e escrever numa forma padrão:
Observação importante: ao derivar essas equações algebraicas devemos sempre excluir os pontos onde
, pois nesses pontos a função original não está definida (mesmo que satisfaçam a identidade algébrica).
Passo 3
Classificação das curvas para
a partir da forma
- Se
: o segundo termo é positivo e a soma das parcelas iguala . Logo é uma elipse centrada em . - Semi-eixo horizontal:
(pois ). - Semi-eixo vertical:
. - Pontos notáveis: ápices verticais
e intersecção com o eixo dada por (o outro enunciado algébrico corresponde ao ponto , que deve ser excluído porque anula o denominador). - Domínio em
: (elipse fechada).
- Semi-eixo horizontal:
- Se
: escrevemos e a equação fica
que é uma hipérbole centrada em
com eixo transverse na direção
.
- Semi-eixo transverse:
. - Semi-eixo conjugado:
. - Assíntotas (forma padrão
): são
- A hipérbole existe para todos os
(ramos abertos), já que a expressão dentro da raiz no cálculo explícito de é sempre positiva para .
Passo 4
Caso especial
. Colocando
em
obtemos simplesmente
Mas é preciso garantir denominador diferente de zero: para pontos com
o denominador é
, que só é zero quando
. Portanto a curva de nível
é a reta vertical
O ponto
é excluído porque anula o denominador (função indefinida).
Passo 5
Expressões explícitas das curvas (forma para plotar parametricamente ou em função de
).
Da equação
, para
podemos resolver para
:
- Se
: a raiz exige , então . Isso dá as duas metades da elipse (ramo superior e inferior). - Se
: a quantidade para todo , então o é real para todo e a hipérbole tem ramos que se estendem para .
Parametrizações úteis para desenhar:
- Para
(elipse): usar parâmetro ,
que satisfazem
.
- Para
(hipérbole): usar parâmetro hiperbólico ,
que satisfazem
.
Passo 6
Agora liste as curvas para os níveis pedidos, com números e pontos para traçar à mão (pontos-chave e assíntotas):
- Para
: É um círculo de centro e raio . Pontos úteis: , . O ponto aparece na equação algébrica mas é excluído (denominador zero). - Para
: Elipse centrada em , semi-eixos (horizontal) e (vertical). Pontos úteis: , . Novamente aparece algebraicamente mas está excluído. - Para
: Hipérbole centrada em com , . Assíntotas: . Interseções com o eixo : e (o ponto deve ser excluído por anular o denominador, apesar de satisfazer a equação algébrica). - Para
: Hipérbole centrada em com , . Assíntotas: . - Para
: Reta vertical sobre o eixo , exceto o ponto .
Passo 7
Sugestão prática de desenho (passo a passo para traçar à mão no papel):
- Desenhe primeiro a parábola proibida
(onde a função é indefinida). Marque que as curvas não podem cruzá‑la. - Desenhe os centros
para cada : . - Para
: desenhe o círculo centrado em , raio , retire o ponto se aparecer. - Para
: desenhe a elipse centrada em com semi-eixos e . - Para
e : desenhe as hipérboles centradas em e . Trace também as assíntotas correspondentes para guiar os ramos. - Para
: desenhe a reta sem o ponto . - Verifique que nenhuma curva atravessa a parábola
; se a equação algébrica indicar para algum , elimine esse ponto (é indeterminação da função).