Determine o domínio e imagem da função:
f(x, y)=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e determinar a imagem da função f dada por
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma função real de duas variáveis x,y.
  • A expressão tem um denominador x+y^{2} que não pode ser zero (caso contrário a função não estaria definida naquele ponto).
    As perguntas são: (i) para quais pares (x,y) a função está bem definida (domínio)? (ii) quais valores reais z aparecem como z=f(x,y) para algum (x,y) no domínio (imagem)?

Passo 2

Condição para o domínio: a função só está definida quando o denominador é diferente de zero. Ou seja, a condição é
x+y^{2}\neq 0.
Explicação didática: como y^{2}\ge 0 para todo y\in\mathbb{R}, a igualdade x+y^{2}=0 ocorre exatamente quando x=-y^{2}. Essa é a parábola voltada para baixo no plano (x,y). Portanto os pontos onde a função não está definida são exatamente os pontos da forma (x,y)=(-y^{2},y).

Passo 3

Escrever o domínio de forma clara e matemática:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y^{2}\neq 0\}.
Em palavras: o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2} exceto a curva dada por x=-y^{2}.

Passo 4

Agora vamos para a imagem. Definição prática: um número real z pertence à imagem se existe (x,y) no domínio tal que f(x,y)=z. A estratégia mais simples é tentar construir (x,y) para cada possível z.
Começamos escrevendo a equação
z=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x+y^{2} (que sabemos ser \neq0 no domínio) obtemos
x^{2}=z(x+y^{2}).
Essa é uma relação que deve ser satisfeita por x,y para que z seja um valor da função. Mas em vez de resolver essa equação de forma geral, vamos usar construções simples que já nos permitam gerar todos os z desejados.

Passo 5

Construção para obter qualquer valor z\neq 0.
Escolha y=0. Então y^{2}=0 e a condição do domínio passa a ser x\neq 0 (pois x+y^{2}=x). Com y=0 a função fica
f(x,0)=\frac{x^{2}}{x}=x\qquad\text{(desde que }x\neq 0\text{)}.
Isto significa que, ao escolher x=z (com z\neq 0), temos f(z,0)=z. Logo todo z\neq 0 é atingido por (x,y)=(z,0), que está no domínio porque z+0\neq 0.

Passo 6

Construção para obter z=0.
Escolha x=0 e qualquer y\neq 0. Então o denominador fica 0+y^{2}=y^{2}\neq 0, portanto (0,y) está no domínio. E
f(0,y)=\frac{0^{2}}{0+y^{2}}=0.
Portanto 0 também é valor da função.

Passo 7

Conclusão sobre a imagem: pelas construções dos passos anteriores vimos que qualquer z\neq 0 é atingido ao escolher (x,y)=(z,0) e z=0 é atingido ao escolher (x,y)=(0,1) (por exemplo). Logo todos os números reais são atingidos; a imagem é o conjunto de todos os reais:
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y^{2}\neq 0\}
\text{Im}(f)=\mathbb{R}

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