Determine o domínio e imagem da função:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio e determinar a imagem da função
dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é uma função real de duas variáveis
. - A expressão tem um denominador
que não pode ser zero (caso contrário a função não estaria definida naquele ponto).
As perguntas são: (i) para quais paresa função está bem definida (domínio)? (ii) quais valores reais aparecem como para algum no domínio (imagem)?
Passo 2
Condição para o domínio: a função só está definida quando o denominador é diferente de zero. Ou seja, a condição é
Explicação didática: como
para todo
, a igualdade
ocorre exatamente quando
. Essa é a parábola voltada para baixo no plano
. Portanto os pontos onde a função não está definida são exatamente os pontos da forma
.
Passo 3
Escrever o domínio de forma clara e matemática:
Em palavras: o domínio é todo o plano
exceto a curva dada por
.
Passo 4
Agora vamos para a imagem. Definição prática: um número real
pertence à imagem se existe
no domínio tal que
. A estratégia mais simples é tentar construir
para cada possível
.
Começamos escrevendo a equação
Multiplicando ambos os lados por
(que sabemos ser
no domínio) obtemos
Essa é uma relação que deve ser satisfeita por
para que
seja um valor da função. Mas em vez de resolver essa equação de forma geral, vamos usar construções simples que já nos permitam gerar todos os
desejados.
Passo 5
Construção para obter qualquer valor
.
Escolha
. Então
e a condição do domínio passa a ser
(pois
). Com
a função fica
Isto significa que, ao escolher
(com
), temos
. Logo todo
é atingido por
, que está no domínio porque
.
Passo 6
Construção para obter
.
Escolha
e qualquer
. Então o denominador fica
, portanto
está no domínio. E
Portanto
também é valor da função.
Passo 7
Conclusão sobre a imagem: pelas construções dos passos anteriores vimos que qualquer
é atingido ao escolher
e
é atingido ao escolher
(por exemplo). Logo todos os números reais são atingidos; a imagem é o conjunto de todos os reais: