Desenhe as curvas de nível das seguintes funções:
h(x, y)=yx-1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
h(x,y)=yx-1,
isto é, o conjunto de pontos (x,y) em que h(x,y)=c para cada constante real c. Para resolver isso vamos:
  1. Escrever a equação h(x,y)=c.
  2. Identificar o tipo de curva que surge.
  3. Mostrar como varia para diferentes valores de c.

Passo 2

Começamos impondo o valor de nível c:
yx-1=c
Multiplicando ambos os lados por (x-1), obtemos a equação da curva de nível:
y=c,(x-1)

Passo 3

A equação ,y=c,(x-1) representa uma reta de coeficiente angular c que intercepta o eixo x em x=1 (pois quando y=0 x=1). Note que a função h não está definida em x=1, então cada reta deve ser desenhada sem incluir o ponto (1,0). A linha vertical x=1 é uma assíntota de definição, mas não de nível.

Passo 4

Para visualizar, basta escolher alguns valores típicos de c:
  • Se c=0, a curva é y=0, ou seja, o eixo x (sem o ponto (1,0)).
  • Se c=1, a curva é y=x-1, reta de coeficiente angular 1 passando por (1,0).
  • Se c=2, a curva é y=2(x-1), reta mais inclinada.
  • Se c=-1, a curva é y=-(x-1), reta decrescente.
Desenhando no plano (x,y), traça-se a reta x=1 pontilhada (linha onde h é indefinida) e, em seguida, várias retas y=c(x-1) para diferentes c, todas “focando” na vertical x=1.

Resposta

As curvas de nível de h(x,y) são as retas
y = c,(x-1),
para cada constante real c, desenhadas sem incluir o ponto (1,0), e a linha vertical x=1 é a fronteira do domínio.

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