Desenhe as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
isto é, o conjunto de pontos
em que
para cada constante real
. Para resolver isso vamos:
- Escrever a equação
. - Identificar o tipo de curva que surge.
- Mostrar como varia para diferentes valores de
.
Passo 2
Começamos impondo o valor de nível
:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a equação da curva de nível:
Passo 3
A equação
representa uma reta de coeficiente angular
que intercepta o eixo
em
(pois quando
dá
). Note que a função
não está definida em
, então cada reta deve ser desenhada sem incluir o ponto
. A linha vertical
é uma assíntota de definição, mas não de nível.
Passo 4
Para visualizar, basta escolher alguns valores típicos de
:
- Se
, a curva é , ou seja, o eixo (sem o ponto ). - Se
, a curva é , reta de coeficiente angular 1 passando por . - Se
, a curva é , reta mais inclinada. - Se
, a curva é , reta decrescente.
Desenhando no plano
, traça-se a reta
pontilhada (linha onde
é indefinida) e, em seguida, várias retas
para diferentes
, todas “focando” na vertical
.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
para cada constante real
, desenhadas sem incluir o ponto
, e a linha vertical
é a fronteira do domínio.