Questão 3.(2,0) Verifique se a integral imprópria
integral0^+infty x e^-x^2 d x
é convergente ou divergente. Caso tal integral convirga, obtenha seu respectivo valor.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty x e^-x^2 , dx
e, caso convirja, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalos infinitos e uso de substituição para integrar funções exponenciais.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como o limite
limR to +infty integral0^R x e^-x^2 , dx
Observamos que x e^-x^2 é contínua para x>=0 e tende a zero rapidamente quando xto+infty, o que indica que a integral pode convergir.

Passo 3

Para calcular
o que implica , ; quando , . Assim,

Passo 4

Calculamos a integral de e^-u e o limite:
tfrac12 integral0^R^2 e^-u , du = tfrac12l[-e^-ur]0^R^2 = tfrac12l(1 - e^-R^2r)
Fazendo Rto+infty, temos e^-R^2to0, logo
limRto+inftytfrac12l(1 - e^-R^2r) = tfrac12

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac12.

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