Questão 3.(2,0) Verifique se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Caso tal integral convirga, obtenha seu respectivo valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, caso convirja, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalos infinitos e uso de substituição para integrar funções exponenciais.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como o limite
Observamos que
é contínua para
e tende a zero rapidamente quando
, o que indica que a integral pode convergir.
Passo 3
Para calcular
o que implica ,
; quando
,
. Assim,
Passo 4
Calculamos a integral de
e o limite:
Fazendo
, temos
, logo
Resposta
A integral converge e seu valor é
.