Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos segintes orbitais:
n=2, l=1
n=2, l=1
Passo 1
O enunciado pede: "Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
".\n
Informações fornecidas e itens relevantes extraídos do enunciado:
Informações fornecidas e itens relevantes extraídos do enunciado:
-
e (ou seja, são os orbitais do tipo 2p). - Para
existem três valores possíveis de : . Portanto há três orbitais 2p (que costumamos representar como — combinações reais dos complexos). - Precisamos desenhar diagramas de contorno (linhas de nível) que mostrem as regiões de mesma amplitude do orbital e as mudanças de sinal (positiva/negativa) separadas pelo(s) plano(s) nodal(is).
- Não foi pedida normalização numérica; o foco é forma, nós nodais e sinal (fase) do orbital.
Passo 2
Conceito e fórmula geral que vamos usar (passo-a-passo didático). A função de onda do elétron para o átomo de hidrogênio separa em parte radial e parte angular:
Expliquei o significado de cada símbolo:
-
é a distância do núcleo ( ). -
é o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo ). -
é o ângulo azimutal (ângulo no plano ). -
é a parte radial (depende só de ). -
é a harmônica esférica (parte angular, dá a forma e nós angulares).
Para
a parte radial (para hidrogênio) tem a forma
onde
é uma constante de normalização e
é o raio de Bohr. Aqui não precisamos do valor de
; o importante é que
é proporcional a
(ou seja, não existe nó radial interno neste caso, pois
).
Passo 3
Parte angular: formas e como obter as versões reais (as que desenhamos no final).
As harmônicas esféricas relevantes (até constantes de fase) dão:
As harmônicas esféricas relevantes (até constantes de fase) dão:
Para desenhar orbitais reais, usamos combinações lineares:
Expliquei a relação com coordenadas cartesianas:
Substituindo obtemos expressões proporcionais mais intuitivas:
onde escrevi
apenas para reforçar que a dependência radial é igual nas três — a diferença é a dependência linear em
ou
, que determina os planos nodais.]
Passo 4
Nós e sinais (interpretando as expressões acima):
- Número de nós radiais:
. Logo, não há nós esféricos (no sentido radial) para 2p — não há anéis radiais onde a função mude de sinal. - Número de nós angulares:
. Para orbitais há um plano nodal (a função muda de sinal ao atravessá-lo). - Identificando os planos nodais:
- Para
: , plano nodal é (plano ). - Para
: plano nodal é (plano ). - Para
: plano nodal é (plano ).
- Para
Passo 5
O que é um “diagrama de contorno” aqui e como desenhá-lo na prova (receita prática):
- Um diagrama de contorno mostra curvas de nível
constante. Como muda de sinal, escolhemos um conjunto de contornos positivos e negativos (por exemplo ) e desenhamos linhas fechadas ao redor de cada lóbulo. - Escolha cortes simples para desenhar:
- Corte
(plano ) é ótimo para ver e (no caso de aparece como uma função ímpar em ). - Corte
(plano ) é ótimo para ver e .
- Corte
- Regras práticas ao traçar:
- Marque o plano nodal (linha onde
) claramente — será uma linha reta atravessando o núcleo. - De um lado do plano nodal desenhe contornos rotulados com sinal
, do outro lado contornos com sinal . - Contornos mais próximos do núcleo correspondem a valores maiores de
; desenhe contornos concêntricos em cada lóbulo, aproximando-se do máximo em cada lóbulo. - Não há contornos circulares ao redor do núcleo que envolvam os dois lobos juntos, porque entre eles está o plano nodal onde
.
- Marque o plano nodal (linha onde
Passo 6
Desenhos concretos (sketches ASCII simplificados) com explicação linha-a-linha. Em cada desenho eu indico qual lado tem sinal
e qual tem sinal
; as linhas representam contornos (níveis) concêntricos.
2p_z (corte no plano
, eixos
horizontal e
vertical). O plano nodal é
(linha horizontal). Acima
, abaixo
.
(cima)
contornos positivos
++
++++ ← contornos concêntricos no lóbulo positivo
++
++
++++ ← contornos concêntricos no lóbulo positivo
++
---------------------- plano nodal
(a função vale 0 aqui)
(baixo)
contornos negativos
–
---- ← contornos no lóbulo negativo
–
–
---- ← contornos no lóbulo negativo
–
Explicação: os contornos são fechados em torno de cada lóbulo; não existe sinal trocando em sentido radial porque não há nó radial.
2p_x (corte no plano
, eixos
horizontal e
vertical). O plano nodal é
(linha vertical). À direita
, à esquerda
.
(topo)
↑
|
↑
|
| ++ | ++ ← contornos ao redor dos lóbulos nas direções
|
|---|---|
| ++++ | ++++ |
| ++ | ++ |
| ----- | ----- plano nodal
|
| ---- | ---- |
| – | – |
←—— \(x\) horizontal
Explicação: os contornos concentram-se ao redor de
(positivo) e
(negativo). Plano nodal vertical em
.
2p_y (corte no plano
, eixos
horizontal e
vertical). O plano nodal é
(linha horizontal). Acima
, abaixo
.
(topo)
contornos positivos
++
++++
++
-------------------- plano nodal (linha horizontal)
(baixo) contornos negativos
–
----
–
++
++++
++
-------------------- plano nodal
(baixo)
–
----
–
Explicação: aqui os lóbulos estão ao longo do eixo
; o plano nodal é horizontal (
) no corte
.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (pra te animar):
- Se te pedirem só o diagrama, desenhe dois lóbulos com contornos e marque o plano nodal e os sinais
e . Isso já garante boa parte dos pontos. - Nomeie cada desenho (
) e indique o plano nodal explicitamente ( , ou ). - Se quiser impressionar, escreva uma linha mostrando a dependência simples, por exemplo:
e que o nó angular ocorre em .
Resposta
2p_z (corte
, eixo horizontal
, vertical
; plano nodal
):
2p_x (corte
, eixo horizontal
, vertical
; plano nodal
):
2p_y (corte
, eixo horizontal
, vertical
; plano nodal
):