Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos segintes orbitais:
n=2, l=1

Passo 1

O enunciado pede: "Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais: n=2,\; l=1".\n
Informações fornecidas e itens relevantes extraídos do enunciado:
  • n=2 e l=1 (ou seja, são os orbitais do tipo 2p).
  • Para l=1 existem três valores possíveis de m_l: m_l=-1,0,+1. Portanto há três orbitais 2p (que costumamos representar como 2p_x,\;2p_y,\;2p_z — combinações reais dos m_l complexos).
  • Precisamos desenhar diagramas de contorno (linhas de nível) que mostrem as regiões de mesma amplitude do orbital e as mudanças de sinal (positiva/negativa) separadas pelo(s) plano(s) nodal(is).
  • Não foi pedida normalização numérica; o foco é forma, nós nodais e sinal (fase) do orbital.

Passo 2

Conceito e fórmula geral que vamos usar (passo-a-passo didático). A função de onda do elétron para o átomo de hidrogênio separa em parte radial e parte angular:
\psi_{n,l,m}(\mathbf{r}) = R_{n,l}(r)\;Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
Expliquei o significado de cada símbolo:
  • r é a distância do núcleo ( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}).
  • \theta é o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
  • \varphi é o ângulo azimutal (ângulo no plano xy).
  • R_{n,l}(r) é a parte radial (depende só de r).
  • Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) é a harmônica esférica (parte angular, dá a forma e nós angulares).
Para n=2,\; l=1 a parte radial (para hidrogênio) tem a forma
R_{2,1}(r) = C\;\left(\frac{r}{a_0}\right)\mathrm{e}^{-r/(2a_0)},
onde C é uma constante de normalização e a_0 é o raio de Bohr. Aqui não precisamos do valor de C; o importante é que R_{2,1}(r) é proporcional a r\,\mathrm{e}^{-r/(2a_0)} (ou seja, não existe nó radial interno neste caso, pois n-l-1=0).

Passo 3

Parte angular: formas e como obter as versões reais (as que desenhamos no final).
As harmônicas esféricas relevantes (até constantes de fase) dão:
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)\propto \cos\theta, \qquad Y_{1}^{\pm1}(\theta,\varphi)\propto \sin\theta\,\mathrm{e}^{\pm i\varphi}.
Para desenhar orbitais reais, usamos combinações lineares:
\begin{aligned} \psi_{2p_z} &\propto R_{2,1}(r)\cos\theta,\\[6pt] \psi_{2p_x} &\propto R_{2,1}(r)\sin\theta\cos\varphi,\\[6pt] \psi_{2p_y} &\propto R_{2,1}(r)\sin\theta\sin\varphi. \end{aligned}
Expliquei a relação com coordenadas cartesianas:
\begin{aligned} z &= r\cos\theta,\\\ x &= r\sin\theta\cos\varphi,\\\ y &= r\sin\theta\sin\varphi. \end{aligned}
Substituindo obtemos expressões proporcionais mais intuitivas:
\begin{aligned} \psi_{2p_z} &\propto R_{2,1}(r)\,\frac{z}{r}\quad\Rightarrow\quad \psi_{2p_z}\propto z\cdot f(r),\\[4pt] \psi_{2p_x} &\propto R_{2,1}(r)\,\frac{x}{r}\quad\Rightarrow\quad \psi_{2p_x}\propto x\cdot f(r),\\[4pt] \psi_{2p_y} &\propto R_{2,1}(r)\,\frac{y}{r}\quad\Rightarrow\quad \psi_{2p_y}\propto y\cdot f(r), \end{aligned}
onde escrevi f(r)=R_{2,1}(r)/r apenas para reforçar que a dependência radial é igual nas três — a diferença é a dependência linear em x,y ou z, que determina os planos nodais.]

Passo 4

Nós e sinais (interpretando as expressões acima):
  • Número de nós radiais: n-l-1 = 2-1-1 = 0. Logo, não há nós esféricos (no sentido radial) para 2p — não há anéis radiais onde a função mude de sinal.
  • Número de nós angulares: l=1. Para orbitais p há um plano nodal (a função muda de sinal ao atravessá-lo).
  • Identificando os planos nodais:
    • Para \psi_{2p_z}: \cos\theta=0 \Rightarrow \theta=\pi/2, plano nodal é z=0 (plano xy).
    • Para \psi_{2p_x}: plano nodal é x=0 (plano yz).
    • Para \psi_{2p_y}: plano nodal é y=0 (plano xz).

Passo 5

O que é um “diagrama de contorno” aqui e como desenhá-lo na prova (receita prática):
  • Um diagrama de contorno mostra curvas de nível \psi(\mathbf{r})= constante. Como \psi muda de sinal, escolhemos um conjunto de contornos positivos e negativos (por exemplo \pm C_{1},\pm C_{2},\ldots) e desenhamos linhas fechadas ao redor de cada lóbulo.
  • Escolha cortes simples para desenhar:
    • Corte y=0 (plano xz) é ótimo para ver \psi_{2p_z} e \psi_{2p_x} (no caso de \psi_{2p_x} aparece como uma função ímpar em x).
    • Corte z=0 (plano xy) é ótimo para ver \psi_{2p_x} e \psi_{2p_y}.
  • Regras práticas ao traçar:
    • Marque o plano nodal (linha onde \psi=0) claramente — será uma linha reta atravessando o núcleo.
    • De um lado do plano nodal desenhe contornos rotulados com sinal +, do outro lado contornos com sinal -.
    • Contornos mais próximos do núcleo correspondem a valores maiores de |\psi|; desenhe contornos concêntricos em cada lóbulo, aproximando-se do máximo em cada lóbulo.
    • Não há contornos circulares ao redor do núcleo que envolvam os dois lobos juntos, porque entre eles está o plano nodal onde \psi=0.

Passo 6

Desenhos concretos (sketches ASCII simplificados) com explicação linha-a-linha. Em cada desenho eu indico qual lado tem sinal + e qual tem sinal -; as linhas representam contornos (níveis) concêntricos.
2p_z (corte no plano y=0, eixos x horizontal e z vertical). O plano nodal é z=0 (linha horizontal). Acima +, abaixo -.
(cima) z>0 contornos positivos
++
++++ ← contornos concêntricos no lóbulo positivo
++
---------------------- plano nodal z=0 (a função vale 0 aqui)
(baixo) z<0 contornos negativos

---- ← contornos no lóbulo negativo
Explicação: os contornos são fechados em torno de cada lóbulo; não existe sinal trocando em sentido radial porque não há nó radial.
2p_x (corte no plano z=0, eixos x horizontal e y vertical). O plano nodal é x=0 (linha vertical). À direita +, à esquerda -.
(topo)
y
|
++ ++ ← contornos ao redor dos lóbulos nas direções x
++++ ++++
++ ++
----- ----- plano nodal x=0 (linha vertical)
---- ----
   ←—— \(x\) horizontal
Explicação: os contornos concentram-se ao redor de x>0 (positivo) e x<0 (negativo). Plano nodal vertical em x=0.
2p_y (corte no plano z=0, eixos x horizontal e y vertical). O plano nodal é y=0 (linha horizontal). Acima +, abaixo -.
(topo) y>0 contornos positivos
++
++++
++
-------------------- plano nodal y=0 (linha horizontal)
(baixo) y<0 contornos negativos

----
Explicação: aqui os lóbulos estão ao longo do eixo y; o plano nodal é horizontal ( y=0) no corte z=0.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (pra te animar):
  • Se te pedirem só o diagrama, desenhe dois lóbulos com contornos e marque o plano nodal e os sinais + e -. Isso já garante boa parte dos pontos.
  • Nomeie cada desenho ( 2p_x,\;2p_y,\;2p_z) e indique o plano nodal explicitamente ( x=0, y=0 ou z=0).
  • Se quiser impressionar, escreva uma linha mostrando a dependência simples, por exemplo: \psi_{2p_z}\propto z\,\mathrm{e}^{-r/(2a_0)} e que o nó angular ocorre em z=0.

Resposta

2p_z (corte y=0, eixo horizontal x, vertical z; plano nodal z=0):
\begin{matrix} \text{(cima) }z>0:\\ \text{contornos positivos} & & \\\ & ++ & \\\ & ++++ & \\\ & ++ & \\\ \hline \text{plano nodal }z=0 & & \\\ & -- & \\\ & ---- & \\\ & -- & \\\ \end{matrix}
2p_x (corte z=0, eixo horizontal x, vertical y; plano nodal x=0):
\begin{matrix} & ++\quad |\quad ++ & \\\ & ++++\quad|\quad++++ & \\\ & ++\quad |\quad ++ & \\\ \hline \text{plano nodal }x=0\\ (\text{linha vertical}) & & \\\ & --\quad |\quad -- & \\\ & ----\quad|\quad---- & \\\ & --\quad |\quad -- & \\\ \end{matrix}
2p_y (corte z=0, eixo horizontal x, vertical y; plano nodal y=0):
\begin{matrix} \text{(cima) }y>0:\\ \text{contornos positivos} & & \\\ & ++ & \\\ & ++++ & \\\ & ++ & \\\ \hline \text{plano nodal }y=0 & & \\\ & -- & \\\ & ---- & \\\ & -- & \\\ \end{matrix}

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