Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
2 p_{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe um diagrama de contorno para o orbital \,2p_{x}\,.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que vou usar:
  • O orbital é \,2p_{x}\, (segunda camada, tipo p, orientado ao longo do eixo x).
  • Preciso representar contornos (linhas de igual valor da função de onda) mostrando a forma, os sinais (positivos/negativos) e os nodos do orbital.
  • Não há figura dada; vou trabalhar com a forma analítica e propriedades conhecidas do \,2p_{x}\, para guiar o desenho.

Passo 2

Qual é a forma matemática do orbital \,2p_{x}\,? Vou escrever uma expressão padrão (com constante de normalização N) e explicar cada termo:
\psi_{2p_x}(r,\theta,\varphi) = N \; r \; e^{-r/(2a_0)} \; \sin\theta \; \cos\varphi.
Explicando cada símbolo:
  • \,r,\theta,\varphi\, são coordenadas esféricas: r = distância ao núcleo, \theta = ângulo polar (ângulo com o eixo z), \varphi = ângulo azimutal (em torno do eixo z).
  • a_0 é o raio de Bohr (constante física que define a escala radial).
  • N é uma constante de normalização que garante que a função de onda tenha energia total apropriada (não preciso do valor numérico para desenhar contornos).
  • O fator r e^{-r/(2a_0)} descreve a dependência radial (decaimento exponencial); o fator angular \sin\theta\cos\varphi determina a orientação e os sinais do orbital.

Passo 3

Interpretação física e nodos a partir da expressão:
  • Em coordenadas cartesianas podemos usar \sin\theta\cos\varphi = \dfrac{x}{r}. Assim a função fica (proporcionalmente)
\psi_{2p_x}(x,y,z) \propto x \; e^{-r/(2a_0)},\qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Desta forma vê-se imediatamente que a função muda de sinal quando x muda de sinal. O plano onde \psi_{2p_x}=0 por causa do fator x é o plano \,x=0 (o plano \,yz-plane). Esse é o nodo angular: o orbital tem um plano nodal passando pelo núcleo.
  • Número de nodos radiais dado por n-l-1. Para n=2 e l=1 temos 2-1-1=0 nodos radiais: não há outra superfície nodal esférica além do plano nodal.

Passo 4

Escolhendo a fatia para desenhar o diagrama de contorno:
  • O desenho de contorno mais comum é a seção no plano z=0 (o plano xy). Vou desenhar nesse plano porque mostra bem os dois lobos do p_x e o plano nodal aparece como a reta x=0 na seção.
  • Na seção z=0 temos r=\sqrt{x^2+y^2} e a função (proporcional) fica
\psi_{2p_x}(x,y,0) \propto x \; e^{-\sqrt{x^2+y^2}/(2a_0)}.
  • Assim, para x>0 temos sinais (por exemplo) positivos; para x<0 sinais negativos (ou vice-versa, a escolha do sinal global não importa, o importante é a diferença de sinal entre as lobes).

Passo 5

Instruções passo-a-passo para desenhar o diagrama de contorno no papel (faça à mão usando estas etapas; é o que você desenharia na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e rotule o eixo horizontal como \,x e o vertical como \,y. Marque o ponto central como o núcleo ( r=0).
  2. Trace uma linha vertical no eixo y e rotule-a como o plano nodal \,x=0. Explique no desenho: “plano nodal: \,x=0 (onde \psi=0)”.
  3. Agora represente as duas regiões (lobes) do 2p_x: uma região à direita do plano (x>0) e outra à esquerda (x<0). Desenhe duas formas semelhantes a gotas/ovais alongadas ao longo do eixo x, simétricas em relação à origem. Essas são as áreas de maior amplitude (cada lobo contém o núcleo “na borda” — lembre que \psi(0)=0, então a função é zero exatamente no núcleo, mas as colorações/contornos concentram-se perto dele).
  4. Ao redor de cada lobo, desenhe linhas de contorno fechadas (ovaladas) centradas ao longo do eixo x. Faça várias linhas concêntricas que se expandem e enfraquecem conforme se afastam do centro do lobo — isso mostra o decaimento exponencial e^{-r/(2a_0)}. As linhas devem ficar mais espaçadas e de menor amplitude à medida que saem do eixo.
  5. No ponto onde o plano nodal cruza a origem (a reta x=0 no desenho), todas as linhas de contorno das duas lobes se anulam: a função muda de sinal aí. Indique claramente sinais com um “+” nas contornos do lobo direito ( x>0) e um “−” nas contornos do lobo esquerdo ( x<0).
  6. Opcional: para dar mais informação, marque uma ou duas curvas de nível correspondendo a valores \psi=C_1>0 e \psi=C_2>0 no lobo direito e os mesmos valores \psi=-C_1, \psi=-C_2 no lobo esquerdo. Não precisa calcular C_i; basta mostrar níveis positivos à direita e níveis negativos à esquerda.

Passo 6

Se quiser entender a forma das linhas de contorno matematicamente (apontamento curto, útil para prova):
  • Linhas de contorno satisfazem \psi_{2p_x}(x,y,0)=C, ou seja
x \; e^{-\sqrt{x^2+y^2}/(2a_0)} = C.
  • Para C>0 isso só tem soluções com x>0; para C<0 só com x<0. Cada constante C gera uma curva fechada que envolve a região do lobo correspondente. Não é necessário resolver explicitamente a equação para desenhar qualitativamente: só importa que os contornos são fechados ao redor de cada lobo e que a amplitude decresce com r.

Passo 7

Observações importantes para o desenho correto na prova (coisas que costumam perder ponto se esquecidas):
  • Sempre marque o plano nodal e escreva que ali \psi=0. No caso de \,2p_{x}\, o plano nodal é \,x=0.
  • Indique os sinais opostos dos lobos (um + e outro −). Isso é crucial: o orbital p_x tem mudança de sinal através do plano nodal.
  • Indique que não existe nodo radial adicional (ou seja, apenas o plano nodal; sem camadas nodais esféricas internas para 2p). Você pode escrever: "número de nodos radiais = n-l-1 = 0".
  • Se desenhar em 3D (opcional), mostre duas superfícies isovalor cobrindo os lobos direito e esquerdo separadas pelo plano yz (o plano nodal).

Passo 8

Resumo rápido visual que você pode copiar para a prova (passo-a-passo condensado para desenhar em ~1 minuto):
  1. Desenhe eixos x,y e o núcleo no centro.
  2. Trace a linha x=0 e escreva “plano nodal”.
  3. Desenhe dois lobos simétricos ao longo do eixo x, um à direita e outro à esquerda.
  4. Circule cada lobo com contornos (ovalados) e rotule o lobo direito com + e o esquerdo com -.
  5. Anote: “sem nodo radial ( n-l-1=0 )”.

Resposta

Diagrama de contorno do \,2p_x: duas regiões lobulares simétricas ao longo do eixo x, separadas pelo plano nodal \,x=0; contornos fechados concêntricos ao redor de cada lobo que decaem com r; lobo direito com sinal + e lobo esquerdo com sinal -; sem nodo radial ( n-l-1=0).

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