Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe um diagrama de contorno para o orbital
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que vou usar:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que vou usar:
- O orbital é
(segunda camada, tipo , orientado ao longo do eixo ). - Preciso representar contornos (linhas de igual valor da função de onda) mostrando a forma, os sinais (positivos/negativos) e os nodos do orbital.
- Não há figura dada; vou trabalhar com a forma analítica e propriedades conhecidas do
para guiar o desenho.
Passo 2
Qual é a forma matemática do orbital
? Vou escrever uma expressão padrão (com constante de normalização
) e explicar cada termo:
Explicando cada símbolo:
-
são coordenadas esféricas: = distância ao núcleo, = ângulo polar (ângulo com o eixo ), = ângulo azimutal (em torno do eixo ). -
é o raio de Bohr (constante física que define a escala radial). -
é uma constante de normalização que garante que a função de onda tenha energia total apropriada (não preciso do valor numérico para desenhar contornos). - O fator
descreve a dependência radial (decaimento exponencial); o fator angular determina a orientação e os sinais do orbital.
Passo 3
Interpretação física e nodos a partir da expressão:
- Em coordenadas cartesianas podemos usar
. Assim a função fica (proporcionalmente)
- Desta forma vê-se imediatamente que a função muda de sinal quando
muda de sinal. O plano onde por causa do fator é o plano (o plano -plane). Esse é o nodo angular: o orbital tem um plano nodal passando pelo núcleo. - Número de nodos radiais dado por
. Para e temos nodos radiais: não há outra superfície nodal esférica além do plano nodal.
Passo 4
Escolhendo a fatia para desenhar o diagrama de contorno:
- O desenho de contorno mais comum é a seção no plano
(o plano ). Vou desenhar nesse plano porque mostra bem os dois lobos do e o plano nodal aparece como a reta na seção. - Na seção
temos e a função (proporcional) fica
- Assim, para
temos sinais (por exemplo) positivos; para sinais negativos (ou vice-versa, a escolha do sinal global não importa, o importante é a diferença de sinal entre as lobes).
Passo 5
Instruções passo-a-passo para desenhar o diagrama de contorno no papel (faça à mão usando estas etapas; é o que você desenharia na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e rotule o eixo horizontal como
e o vertical como . Marque o ponto central como o núcleo ( ). - Trace uma linha vertical no eixo
e rotule-a como o plano nodal . Explique no desenho: “plano nodal: (onde )”. - Agora represente as duas regiões (lobes) do
: uma região à direita do plano e outra à esquerda . Desenhe duas formas semelhantes a gotas/ovais alongadas ao longo do eixo , simétricas em relação à origem. Essas são as áreas de maior amplitude (cada lobo contém o núcleo “na borda” — lembre que , então a função é zero exatamente no núcleo, mas as colorações/contornos concentram-se perto dele). - Ao redor de cada lobo, desenhe linhas de contorno fechadas (ovaladas) centradas ao longo do eixo
. Faça várias linhas concêntricas que se expandem e enfraquecem conforme se afastam do centro do lobo — isso mostra o decaimento exponencial . As linhas devem ficar mais espaçadas e de menor amplitude à medida que saem do eixo. - No ponto onde o plano nodal cruza a origem (a reta
no desenho), todas as linhas de contorno das duas lobes se anulam: a função muda de sinal aí. Indique claramente sinais com um “+” nas contornos do lobo direito ( ) e um “−” nas contornos do lobo esquerdo ( ). - Opcional: para dar mais informação, marque uma ou duas curvas de nível correspondendo a valores
e no lobo direito e os mesmos valores , no lobo esquerdo. Não precisa calcular ; basta mostrar níveis positivos à direita e níveis negativos à esquerda.
Passo 6
Se quiser entender a forma das linhas de contorno matematicamente (apontamento curto, útil para prova):
- Linhas de contorno satisfazem
, ou seja
- Para
isso só tem soluções com ; para só com . Cada constante gera uma curva fechada que envolve a região do lobo correspondente. Não é necessário resolver explicitamente a equação para desenhar qualitativamente: só importa que os contornos são fechados ao redor de cada lobo e que a amplitude decresce com .
Passo 7
Observações importantes para o desenho correto na prova (coisas que costumam perder ponto se esquecidas):
- Sempre marque o plano nodal e escreva que ali
. No caso de o plano nodal é . - Indique os sinais opostos dos lobos (um + e outro −). Isso é crucial: o orbital
tem mudança de sinal através do plano nodal. - Indique que não existe nodo radial adicional (ou seja, apenas o plano nodal; sem camadas nodais esféricas internas para
). Você pode escrever: "número de nodos radiais = ". - Se desenhar em 3D (opcional), mostre duas superfícies isovalor cobrindo os lobos direito e esquerdo separadas pelo plano
(o plano nodal).
Passo 8
Resumo rápido visual que você pode copiar para a prova (passo-a-passo condensado para desenhar em ~1 minuto):
- Desenhe eixos
e o núcleo no centro. - Trace a linha
e escreva “plano nodal”. - Desenhe dois lobos simétricos ao longo do eixo
, um à direita e outro à esquerda. - Circule cada lobo com contornos (ovalados) e rotule o lobo direito com
e o esquerdo com . - Anote: “sem nodo radial (
)”.
Resposta
Diagrama de contorno do
: duas regiões lobulares simétricas ao longo do eixo
, separadas pelo plano nodal
; contornos fechados concêntricos ao redor de cada lobo que decaem com
; lobo direito com sinal
e lobo esquerdo com sinal
; sem nodo radial (
).