Desenhe o diagrama de corpo livre de um pêndulo simples.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) de um pêndulo simples.
Informações e hipóteses que vou assumir (coisa típica para um pêndulo simples):
  • Massa concentrada no pêndulo: m (uma “bolinha” no final do fio/haste).
  • Haste/corda rígida e sem massa de comprimento L, presa em um pivô sem atrito.
  • Ângulo do fio com a vertical: \theta (medido a partir da vertical positiva para um sentido escolhido, por exemplo sentido anti-horário).
  • Forças que agem sobre a massa: só a gravidade e a força de contato transmitida pela haste (tensão).
    O que deve constar no DCL: as forças aplicadas à massa (vetores), um sistema de coordenadas conveniente (radial/tangencial), e a decomposição da força peso nas componentes radial e tangencial para conseguir escrever as equações de movimento.

Passo 2

Como desenhar o diagrama passo a passo (passo a passo prático que dá para seguir com lápis e régua):
  1. Marque o pivô no topo com um ponto/círculo. Desenhe a haste/corda de comprimento L inclinada formando um ângulo \theta com a vertical. No fim da haste desenhe uma pequena bolinha para a massa m.
  2. No ponto que representa a massa, desenhe um vetor vertical para baixo e rotule-o \,m g. Esse é o peso, aplicado no centro de massa.
  3. Desenhe outro vetor ao longo da haste, apontando do centro de massa em direção ao pivô (ou seja, ao longo da haste, “para cima” ao longo do fio). Rotule esse vetor \,T (tensão). A tensão é sempre dirigida ao longo da haste, apontando para o pivô.
  4. Para facilitar a análise, desenhe no ponto da massa dois vetores unitários locais:
    • \hat r: radial, apontando do pivô para a massa (sentido “para fora” ao longo da haste).
    • \hat \theta: tangencial, perpendicular a \hat r, sentido positivo correspondente ao aumento de \theta.
  5. Decomponha o peso m g nas componentes radial e tangencial usando trigonometria:
    • componente radial (direção de \hat r): magnitude m g \cos\theta, apontando no sentido contrário a \hat r (ou seja, em direção ao pivô).
    • componente tangencial (direção de \hat \theta): magnitude m g \sin\theta, apontando no sentido que tende a reduzir \theta (força restauradora).
      Ao desenhar, substitua o vetor m g por duas setas: uma ao longo de -\hat r com comprimento proporcional a m g\cos\theta e outra ao longo de -\hat \theta com comprimento proporcional a m g\sin\theta.

Passo 3

Agora a parte útil para a prova: escrever as equações de movimento a partir do DCL — explicando cada passo como se estivesse na prova.
  1. Escolha de sinais e coordenadas: tome \hat r apontando do pivô para a massa (para fora) e \hat \theta tangencial, positivo no sentido de aumento de \theta. A aceleração tangencial do ponto massa é a_\theta = L\,\ddot\theta. A aceleração radial (centrípeta) é a_r = -L\,\dot\theta^{2} se usar sinal com \hat r para fora (a componente é para dentro).
  2. Forças na direção tangencial ( \hat \theta): a única força tangencial é a componente do peso. Logo a soma das forças tangenciais é
\sum F_\theta = -m g \sin\theta,
onde o sinal negativo indica que a força tende a diminuir \theta. Pela segunda lei na direção tangencial:
m a_\theta = m L \ddot\theta = \sum F_\theta = -m g \sin\theta.
Cancelando m,
L \ddot\theta + g \sin\theta = 0
ou, escrito como equação do movimento,
\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\sin\theta = 0.
  1. Para a prova é comum linearizar para pequenas oscilações ( \theta pequeno): use \sin\theta \approx \theta. A equação fica
\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
que é uma equação harmônica simples com frequência angular \omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}.
4. Forças na direção radial ( \hat r): a tensão e a componente radial do peso atuam. Somando forças radiais (positivo no sentido \hat r):
\sum F_r = T - m g \cos\theta.
Essa soma fornece a aceleração radial centrípeta m a_r = m L \dot\theta^{2} (note que a_r apontará para dentro; com o sinal escolhido a equação fica)
T - m g \cos\theta = m L \dot\theta^{2}.
Daí obtemos a expressão para a tensão
T = m g \cos\theta + m L \dot\theta^{2}.
Interpretação física: a tensão fornece tanto a componente que equilibra a parte radial do peso quanto a força centrípeta necessária quando a massa tem velocidade angular \dot\theta.

Passo 4

Resumo do que deve aparecer no DCL (para você conferir quando desenhar na prova) — lista prática:
  • No corpo livre da massa: duas forças externas: \,m g para baixo e \,T ao longo da haste em direção ao pivô.
  • No desenho, mostre também a decomposição do peso em m g\cos\theta (radial) e m g\sin\theta (tangencial).
  • Equações que se obtêm diretamente do DCL: m L \ddot\theta = -m g \sin\theta \quad\text{(tangencial)}
T - m g \cos\theta = m L \dot\theta^{2} \quad\text{(radial)}
  • Pequena dica: rotular claramente a direção positiva de \hat \theta e o sentido do ângulo \theta evita erros de sinal em provas.

Resposta

(pivô)
O


• ← massa m (bob)

| seta ao longo da haste apontando para o pivô: tensão T
|
(linha inclinada = haste de comprimento L, formando ângulo \theta com a vertical)

m g (peso, vertical para baixo)
Decomposição do peso no ponto massa:
  • componente radial (para o pivô): m g\cos\theta (apontando em -\hat r)
  • componente tangencial (restauradora): m g\sin\theta (apontando em -\hat\theta)
Equações associadas (do DCL):
m L \ddot\theta = -m g \sin\theta, \qquad T = m g \cos\theta + m L \dot\theta^{2}.

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