Desenhe um gráfico bem completo da funçāo racional
f(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}-4\right)}{x^{2}+5}
ressaltando as suas interseçōes com os eixos cartesianos, seus intervalos de positividade e de comportamento crescente, bem como seus pontos de minimo, de máximo e seus valores extremos. Não se esqueça de descrever precisamente o comportamento assintótico de f(x), ou seja, como ela se comporta quando seu argumento tende a valores grandes, positivos e negativos.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}-4\right)}{x^{2}+5}
e pede explicitamente:
  • as interseções com os eixos cartesianos (raízes/interceptos);
  • os intervalos onde a função é positiva/negativa;
  • os intervalos de crescimento e decrescimento (comportamento crescente);
  • os pontos críticos que correspondem a mínimos e máximos e seus valores (extremos);
  • o comportamento assintótico (o que acontece quando x\to+\infty e x\to-\infty).
    As informações relevantes que já temos do enunciado: a fórmula da função (acima) e que se trata de uma função real definida para todos os x em \mathbb{R} salvo confirmação da existência de denominador zero (que vou checar). A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Domínio, simetrias e interceptos com os eixos:
  • Denominador: x^{2}+5>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Simetria: a função depende apenas de potências pares de x ( x^{2} e x^{4}), logo é uma função par:
f(-x)=f(x).
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Interseção com o eixo y: f(0)=\dfrac{0^{2}(0^{2}-4)}{0^{2}+5}=0. Então o ponto (0,0) é interseção com y.
  • Interseção com o eixo x (raízes): resolver o numerador
x^{2}(x^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=0 \text{ ou } x^{2}=4.
Logo as raízes são x=0 (multiplicidade 2) e x=\pm 2. Portanto os interceptos com o eixo x são os pontos (-2,0), (0,0) e (2,0). Observação: multiplicidade 2 em x=0 implica que o gráfico “toca” o eixo x em 0 (não o atravessa necessariamente).

Passo 3

Sinal da função (intervalos de positividade/negatividade):
  • O denominador x^{2}+5>0 não altera o sinal (sempre positivo).
  • O sinal vem do numerador x^{2}(x^{2}-4). Note que x^{2}\ge 0 sempre; então o sinal é determinado por x^{2}-4.
    • Se |x|>2 então x^{2}-4>0 e o numerador é positivo \Rightarrow f(x)>0.
    • Se |x|<2 e x\neq 0 então x^{2}-4<0 e o numerador é negativo, mas x^2>0, então f(x)<0.
    • Em x=0 e x=\pm2 temos f(x)=0.
      Portanto os intervalos de sinal são:
\begin{aligned} &f(x)>0\quad\text{em}\quad (-\infty,-2)\cup(2,+\infty),\\\ &f(x)=0\quad\text{em}\quad x\in\{-2,0,2\},\\\ &f(x)<0\quad\text{em}\quad (-2,0)\cup(0,2). \end{aligned}

Passo 4

Comportamento assintótico (divisão polinomial e desenvolvimento):
  • Como o numerador tem grau 4 e o denominador grau 2, existe uma assíntota polinomial (parabólica) obtida pela divisão. Faço a divisão:
\frac{x^{4}-4x^{2}}{x^{2}+5} = x^{2}-9+\frac{45}{x^{2}+5}.
Portanto podemos escrever
f(x)=x^{2}-9+\frac{45}{x^{2}+5}.
  • A assíntota polinomial (assíntota do tipo parabólica) é
y=x^{2}-9.
  • Comportamento quando x\to\pm\infty: o termo \dfrac{45}{x^{2}+5}\to 0^{+}, portanto
f(x)=x^{2}-9+o(1)\quad\text{quando }x\to\pm\infty.
Isto é, f(x) cresce como x^{2} e aproxima-se da parábola y=x^{2}-9 vindo sempre por cima (o resto 45/(x^{2}+5) é positivo). Mais precisamente,
f(x)-\bigl(x^{2}-9\bigr)=\frac{45}{x^{2}+5}>0,
então f(x) fica sempre um pouquinho acima da parábola de comparação e a diferença tende a zero como 1/x^{2}.
Observações: não existem assíntotas verticais porque o denominador nunca zera.

Passo 5

Cálculo da derivada e pontos críticos (passo a passo e explicação das fórmulas usadas):
  • É mais simples derivar a forma já dividida. Relembrando a derivada: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}\bigl((x^{2}+5)^{-1}\bigr)=-2x(x^{2}+5)^{-2}.
    Da forma
f(x)=x^{2}-9+\frac{45}{x^{2}+5}
temos
f'(x)=2x + 45\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+5)^{-1}\bigr) = 2x + 45\cdot\bigl(-2x\bigr)(x^{2}+5)^{-2}.
Simplificando:
f'(x)=2x - \frac{90x}{(x^{2}+5)^{2}}.
Colocando em fator comum x:
f'(x)=x\left(2-\frac{90}{(x^{2}+5)^{2}}\right).
  • Zeros de f' (pontos críticos): resolver f'(x)=0.
    • Uma solução imediata é x=0.
    • As outras soluções vêm de 2-\frac{90}{(x^{2}+5)^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{90}{(x^{2}+5)^{2}}=2.Assim (x^{2}+5)^{2}=\frac{90}{2}=45.Como x^{2}+5>0, tirando raiz positiva: x^{2}+5=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.Logo x^{2}=3\sqrt{5}-5.Portanto as soluções são x=\pm\sqrt{\,3\sqrt{5}-5\,}.
Denotando
a:=\sqrt{\,3\sqrt{5}-5\,}\approx 1{,}307\quad(\text{arred.}),
os pontos críticos são x=-a,\;x=0,\;x=+a.

Passo 6

Classificação dos pontos críticos (análise do sinal de f'):
  • Note que a quantidade entre parênteses em f'(x)=x\bigl(2-90/(x^{2}+5)^{2}\bigr) depende apenas de x^{2}, logo é par; denotando g(x):=2-90/(x^{2}+5)^{2} tem-se g(0)=2-90/25=2-3{,}6=-1{,}6<0 e para x grande g(x)>0. Assim g(x) muda de sinal em |x|=a.
  • Construção do sinal de f':
    • Para x<-a: x<0 e g(x)>0 \Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
    • Para -a<x<0: x<0 e g(x)<0 \Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
    • Para 0<x<a: x>0 e g(x)<0 \Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
    • Para x>a: x>0 e g(x)>0 \Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
  • Conclusões sobre máximos e mínimos:
    • Em x=-a: f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local.
    • Em x=0: f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo local.
    • Em x=+a: f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local.
  • Como a função é par, os mínimos de mesma ordem aparecem simetricamente em \pm a.

Passo 7

Cálculo dos valores de f nos pontos críticos (valores extremos, com forma exata e aproximação numérica):
  • Para simplificar, use t:=x^{2}. A expressão já dividida é
f(x)=t-9+\frac{45}{t+5}\quad\text{com }t=x^{2}.
  • Em x=0 temos t=0:
f(0)=0-9+\frac{45}{0+5}= -9 + 9 = 0.
Logo o valor do máximo local em x=0 é f(0)=0 (ou seja, o ponto (0,0)).
  • Em x=\pm a temos t=a^{2}=3\sqrt{5}-5. Substituindo:
f(\pm a)= (3\sqrt{5}-5)-9+\frac{45}{3\sqrt{5}-5+5}.
Note que 3\sqrt{5}-5+5=3\sqrt{5}, então
\frac{45}{3\sqrt{5}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.
Assim
f(\pm a)=3\sqrt{5}-14+3\sqrt{5}=6\sqrt{5}-14.
Valor numérico:
6\sqrt{5}-14\approx 6\cdot2{,}2360679-14 \approx 13{,}4164-14 \approx -0{,}5836.
Portanto os mínimos locais (e, neste caso, absolutamente mínimos porque a função é ilimitada superiormente e tende a +\infty nas pontas) ocorrem em
\bigl(\pm\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,6\sqrt{5}-14\bigr)\approx(\pm1{,}307,\,-0{,}5836).
Resumo:
  • máximo local: (0,0) com valor 0.
  • mínimos locais (absolutos): \bigl(\pm\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,6\sqrt{5}-14\bigr) com valor 6\sqrt{5}-14\approx-0{,}5836.
  • Não existe máximo global finito, pois f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty.

Passo 8

Intervalos de crescimento e decrescimento — resposta compacta em termos exatos e aproximados:
  • Crescente em
\bigl(-\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,0\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,+\infty\bigr).
Numericamente:
(-1{,}307,\;0)\quad\text{e}\quad(1{,}307,\;+\infty).
  • Decrescente em
\bigl(-\infty,\,-\sqrt{3\sqrt{5}-5}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,\;\sqrt{3\sqrt{5}-5}\bigr).
Numericamente:
(-\infty,-1{,}307)\quad\text{e}\quad(0,1{,}307).

Passo 9

Descrição final do gráfico (elementos a destacar ao desenhar):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Simetria: par (simetria em relação ao eixo y).
  • Interseções: (-2,0), (0,0), (2,0).
  • Sinal: negativo em (-2,0)\cup(0,2), positivo em (-\infty,-2)\cup(2,\infty).
  • Pontos críticos:
    • máximo local em (0,0) com f(0)=0;
    • mínimos locais (absolutos) em \bigl(\pm\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,6\sqrt{5}-14\bigr)\approx(\pm1{,}307,\,-0{,}5836).
  • Crescimento/decrescimento conforme Passo 8.
  • Assíntota polinomial (parabólica): y=x^{2}-9; comportamento: para x\to\pm\infty tem-se
f(x)=x^{2}-9+\frac{45}{x^{2}+5},
ou seja, f(x) aproxima-se da parábola y=x^{2}-9 vindo sempre por cima, e a diferença decai como 1/x^{2}.
  • Não há assíntotas verticais nem horizontais finitas.
  • Observação geométrica: entre -2 e 2 o gráfico fica abaixo do eixo x exceto no ponto 0 onde toca o eixo; nos ramos exteriores |x|>2 o gráfico sobe rapidamente (comportamento quadrático).

Resposta

Interseções: (-2,0),\\ (0,0),\\ (2,0)
Intervalos em que f(x)>0: (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)
Intervalos em que f(x)<0: (-2,0)\cup(0,2)
Pontos críticos e extremos:
\displaystyle x=0 é máximo local com f(0)=0
\displaystyle x=\pm\sqrt{3\sqrt{5}-5} são mínimos locais (absolutos) com f\bigl(\pm\sqrt{3\sqrt{5}-5}\bigr)=6\sqrt{5}-14\approx-0{,}5836
Intervalos de crescimento:
\displaystyle \bigl(-\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,0\bigr) e \displaystyle \bigl(\sqrt{3\sqrt{5}-5},\,+\infty\bigr)
Intervalos de decrescimento:
\displaystyle (-\infty,\,-\sqrt{3\sqrt{5}-5}) e \displaystyle (0,\;\sqrt{3\sqrt{5}-5})
Comportamento assintótico: assíntota polinomial y=x^{2}-9; mais precisamente
\displaystyle f(x)=x^{2}-9+\frac{45}{x^{2}+5},\quad e \displaystyle f(x)-\bigl(x^{2}-9\bigr)=\frac{45}{x^{2}+5}\to 0^{+} quando x\to\pm\infty.

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