Desenhe um gráfico bem completo da funçāo racional
ressaltando as suas interseçōes com os eixos cartesianos, seus intervalos de positividade e de comportamento crescente, bem como seus pontos de minimo, de máximo e seus valores extremos. Não se esqueça de descrever precisamente o comportamento assintótico de
, ou seja, como ela se comporta quando seu argumento tende a valores grandes, positivos e negativos.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede explicitamente:
- as interseções com os eixos cartesianos (raízes/interceptos);
- os intervalos onde a função é positiva/negativa;
- os intervalos de crescimento e decrescimento (comportamento crescente);
- os pontos críticos que correspondem a mínimos e máximos e seus valores (extremos);
- o comportamento assintótico (o que acontece quando
e ).
As informações relevantes que já temos do enunciado: a fórmula da função (acima) e que se trata de uma função real definida para todos osem salvo confirmação da existência de denominador zero (que vou checar). A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Domínio, simetrias e interceptos com os eixos:
- Denominador:
para todo . Logo o domínio é
- Simetria: a função depende apenas de potências pares de
( e ), logo é uma função par:
Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
- Interseção com o eixo
: . Então o ponto é interseção com . - Interseção com o eixo
(raízes): resolver o numerador
Logo as raízes são
(multiplicidade 2) e
. Portanto os interceptos com o eixo
são os pontos
,
e
. Observação: multiplicidade 2 em
implica que o gráfico “toca” o eixo
em
(não o atravessa necessariamente).
Passo 3
Sinal da função (intervalos de positividade/negatividade):
- O denominador
não altera o sinal (sempre positivo). - O sinal vem do numerador
. Note que sempre; então o sinal é determinado por . - Se
então e o numerador é positivo . - Se
e então e o numerador é negativo, mas , então . - Em
e temos .
Portanto os intervalos de sinal são:
- Se
Passo 4
Comportamento assintótico (divisão polinomial e desenvolvimento):
- Como o numerador tem grau
e o denominador grau , existe uma assíntota polinomial (parabólica) obtida pela divisão. Faço a divisão:
Portanto podemos escrever
- A assíntota polinomial (assíntota do tipo parabólica) é
- Comportamento quando
: o termo , portanto
Isto é,
cresce como
e aproxima-se da parábola
vindo sempre por cima (o resto
é positivo). Mais precisamente,
então
fica sempre um pouquinho acima da parábola de comparação e a diferença tende a zero como
.
Observações: não existem assíntotas verticais porque o denominador nunca zera.
Passo 5
Cálculo da derivada e pontos críticos (passo a passo e explicação das fórmulas usadas):
- É mais simples derivar a forma já dividida. Relembrando a derivada:
e .
Da forma
temos
Simplificando:
Colocando em fator comum
:
- Zeros de
(pontos críticos): resolver . - Uma solução imediata é
. - As outras soluções vêm de
Assim Como , tirando raiz positiva: Logo Portanto as soluções são
- Uma solução imediata é
Denotando
os pontos críticos são
.
Passo 6
Classificação dos pontos críticos (análise do sinal de
):
- Note que a quantidade entre parênteses em
depende apenas de , logo é par; denotando tem-se e para grande . Assim muda de sinal em . - Construção do sinal de
: - Para
: e (decrescente). - Para
: e (crescente). - Para
: e (decrescente). - Para
: e (crescente).
- Para
- Conclusões sobre máximos e mínimos:
- Em
: muda de negativo para positivo mínimo local. - Em
: muda de positivo para negativo máximo local. - Em
: muda de negativo para positivo mínimo local.
- Em
- Como a função é par, os mínimos de mesma ordem aparecem simetricamente em
.
Passo 7
Cálculo dos valores de
nos pontos críticos (valores extremos, com forma exata e aproximação numérica):
- Para simplificar, use
. A expressão já dividida é
- Em
temos :
Logo o valor do máximo local em
é
(ou seja, o ponto
).
- Em
temos . Substituindo:
Note que
, então
Assim
Valor numérico:
Portanto os mínimos locais (e, neste caso, absolutamente mínimos porque a função é ilimitada superiormente e tende a
nas pontas) ocorrem em
Resumo:
- máximo local:
com valor . - mínimos locais (absolutos):
com valor . - Não existe máximo global finito, pois
quando .
Passo 8
Intervalos de crescimento e decrescimento — resposta compacta em termos exatos e aproximados:
- Crescente em
Numericamente:
- Decrescente em
Numericamente:
Passo 9
Descrição final do gráfico (elementos a destacar ao desenhar):
- Domínio:
. - Simetria: par (simetria em relação ao eixo
). - Interseções:
, , . - Sinal: negativo em
, positivo em . - Pontos críticos:
- máximo local em
com ; - mínimos locais (absolutos) em
.
- máximo local em
- Crescimento/decrescimento conforme Passo 8.
- Assíntota polinomial (parabólica):
; comportamento: para tem-se
ou seja,
aproxima-se da parábola
vindo sempre por cima, e a diferença decai como
.
- Não há assíntotas verticais nem horizontais finitas.
- Observação geométrica: entre
e o gráfico fica abaixo do eixo exceto no ponto onde toca o eixo; nos ramos exteriores o gráfico sobe rapidamente (comportamento quadrático).
Resposta
Interseções:
Intervalos em que
:
Intervalos em que
:
Pontos críticos e extremos:
é máximo local com
são mínimos locais (absolutos) com
Intervalos de crescimento:
e
Intervalos de decrescimento:
e
Comportamento assintótico: assíntota polinomial
; mais precisamente
,\quad e
quando
.