Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes
e o expoente
, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que sejam identificados os coeficientes
,
e o expoente
, que se aplique a substituição apropriada para transformá-la numa equação linear e que se determine a solução geral.
Informações dadas:
- Equação:
- Pedidos: identificar
; usar substituição para obter uma equação linear; resolver e apresentar a solução geral.
Passo 2
Reconhecendo a forma padrão da equação de Bernoulli (apenas para identificar as partes): a equação tem o formato
Comparando com a equação dada, obtemos:
A técnica que vamos usar é a substituição
Vou explicar o porquê e como isso funciona, passo a passo. Tomando
e diferenciando em relação a
(usando a regra da cadeia), temos
Isto relaciona
com
. Para o nosso caso
isso fica
Podemos isolar
se for útil, ou substituir diretamente na equação original; eu vou substituir de forma a eliminar potências não-lineares de
.
Passo 3
Substituindo
na equação original. Começo reescrevendo a equação original e dividindo por
(isso é válido quando
; vou tratar a possibilidade
depois):
Como
e
(da relação
isolamos
), obtemos
Multiplicando por
para deixar no formato padrão
, vem
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em
:
Passo 4
Resolver a equação linear
pelo fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Isolando
,
Passo 5
Voltando à variável
usando
, temos
Agora resolvemos para
. Tomando inverso e a raiz cúbica (lembrando que a solução geral pode ser escrita com uma constante arbitrária
):
portanto
Uma forma alternativa (fatorando
no denominador) é
Observação sobre
: a etapa em que dividimos por
exigiu
. Verificando separadamente,
satisfaz a equação original (pois
), então
é também uma solução (a solução trivial). A solução obtida por substituição corresponde às soluções não-nulas.