Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes p(x), f(x) e o expoente n, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
y^{\prime}+y=e^{x} y^{4}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' + y = e^{x} y^{4},
e pede que sejam identificados os coeficientes p(x), f(x) e o expoente n, que se aplique a substituição apropriada para transformá-la numa equação linear e que se determine a solução geral.
Informações dadas:
  • Equação: \;y' + y = e^{x} y^{4}.
  • Pedidos: identificar p(x), f(x), n; usar substituição para obter uma equação linear; resolver e apresentar a solução geral.

Passo 2

Reconhecendo a forma padrão da equação de Bernoulli (apenas para identificar as partes): a equação tem o formato
y' + p(x)\,y = f(x)\,y^{n}.
Comparando com a equação dada, obtemos:
p(x)=1,\qquad f(x)=e^{x},\qquad n=4.
A técnica que vamos usar é a substituição
u = y^{\,1-n}.
Vou explicar o porquê e como isso funciona, passo a passo. Tomando u=y^{1-n} e diferenciando em relação a x (usando a regra da cadeia), temos
u' = (1-n)\,y^{-n}\,y'.
Isto relaciona y' com u'. Para o nosso caso n=4 isso fica
u = y^{1-4}=y^{-3},\qquad u' = (1-4)\,y^{-4}\,y' = -3\,y^{-4}\,y'.
Podemos isolar y' se for útil, ou substituir diretamente na equação original; eu vou substituir de forma a eliminar potências não-lineares de y.

Passo 3

Substituindo u' = -3\,y^{-4}\,y' na equação original. Começo reescrevendo a equação original e dividindo por y^{4} (isso é válido quando y\neq0; vou tratar a possibilidade y\equiv0 depois):
\frac{y'}{y^{4}} + \frac{y}{y^{4}} = e^{x}.
Como \dfrac{y}{y^{4}} = y^{-3} = u e \dfrac{y'}{y^{4}} = -\dfrac{1}{3}u' (da relação u' = -3 y^{-4} y' isolamos y'/y^{4} = -\tfrac{1}{3}u'), obtemos
-\tfrac{1}{3}u' + u = e^{x}.
Multiplicando por -3 para deixar no formato padrão u' + P(x)u = Q(x), vem
u' - 3u = -3 e^{x}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em u:
u' + P(x)u = Q(x)\quad\text{com}\quad P(x)=-3,\; Q(x)=-3 e^{x}.

Passo 4

Resolver a equação linear u' - 3u = -3 e^{x} pelo fator integrante. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -3\,dx} = e^{-3x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-3x} u' - 3 e^{-3x} u = -3 e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (e^{-3x} u)'. Assim
\bigl(e^{-3x} u\bigr)' = -3 e^{-2x}.
Integramos ambos os lados em x:
e^{-3x} u = \int -3 e^{-2x}\,dx = -3 \cdot \left(\frac{e^{-2x}}{-2}\right) + C = \frac{3}{2} e^{-2x} + C,
onde C é constante de integração.
Isolando u,
u = e^{3x}\left(\frac{3}{2} e^{-2x} + C\right) = \frac{3}{2} e^{x} + C e^{3x}.

Passo 5

Voltando à variável y usando u=y^{-3}, temos
y^{-3} = \frac{3}{2} e^{x} + C e^{3x}.
Agora resolvemos para y. Tomando inverso e a raiz cúbica (lembrando que a solução geral pode ser escrita com uma constante arbitrária C):
y^{3} = \frac{1}{\frac{3}{2} e^{x} + C e^{3x}},
portanto
y(x) = \left(\frac{1}{\tfrac{3}{2} e^{x} + C e^{3x}}\right)^{1/3}.
Uma forma alternativa (fatorando e^{x} no denominador) é
y(x) = e^{-x/3}\left(\tfrac{3}{2} + C e^{2x}\right)^{-1/3}.
Observação sobre y=0: a etapa em que dividimos por y^{4} exigiu y\neq0. Verificando separadamente, y\equiv0 satisfaz a equação original (pois 0 + 0 = e^{x}\cdot 0), então y\equiv0 é também uma solução (a solução trivial). A solução obtida por substituição corresponde às soluções não-nulas.

Resposta

y(x)=\displaystyle\left(\tfrac{3}{2} e^{x} + C e^{3x}\right)^{-1/3},\quad C\in\mathbb{R}.
y(x)\equiv 0.

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