Uma empresa de logistica precisa transportar 1500 toneladas de material de um depósito até uma obra. O custo de transporte fazendo
viagens possui duas componentes:
(a) Um custo fixo por viagem de 100 reais:
(b) um custo operacional por viagem que é igual ao quadrado da carga transportada em cada viagem. Como cada viagem transporta
toneladas:
(c) Calcule uma expressão para o custo total,
, em função do número
de viagens e determine o número de viagens que minimiza o custo total.
(a) Um custo fixo por viagem de 100 reais:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado do texto do problema):
- A quantidade total a transportar é
toneladas. - Há um custo fixo por viagem dado por
onde
é o número de viagens.
- Há um custo operacional total dado pelo quadrado da carga por viagem: como cada viagem transporta
toneladas, esse custo total é
O que o problema pede:
- Calcular uma expressão para o custo total
em função de . - Determinar o número de viagens
que minimiza o custo total.
Observação importante:
representa um número de viagens, portanto tem que ser um inteiro positivo. Aqui primeiro tratamos
como variável real positiva para achar o mínimo contínuo; depois verificamos a condição inteira.
Passo 2
Montar a expressão do custo total somando as duas componentes dadas:
Podemos também escrever o termo numérico:
logo uma forma explícita é
Essa é a função que vamos minimizar para
.
Passo 3
Usamos cálculo diferencial para encontrar candidatos a mínimo. Regra usada (explicação didática): para funções do tipo
, a derivada é
(regra do expoente). Em particular, para
a derivada é
.
Derivando
em relação a
:
Para obter extremos, resolvemos
:
Passo 4
Resolver a equação da derivada igual a zero passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Como
, obtemos
Então
é o único ponto crítico positivo.
Passo 5
Confirmar que esse ponto é mínimo: calculamos a segunda derivada e verificamos o sinal. A segunda derivada é
Para
esse valor é positivo (
), logo a função é convexa e o ponto crítico
é um mínimo local — e, por convexidade, é mínimo global em
.
Agora verificar a restrição inteira:
deve ser inteiro positivo. Aqui o mínimo contínuo encontrado é exatamente
, que é inteiro, portanto também é o mínimo admissível para o problema real.
Passo 6
Calcular o custo mínimo correspondente avaliando
em
. Primeiro a carga por viagem:
Custos:
Somando,
Interpretação rápida e prática: com
viagens cada viagem leva
toneladas; o custo fixo por viagem é
reais e o custo operacional por viagem é
reais, então o custo por viagem é
reais e, multiplicando por
, dá
reais no total.
Resposta
O número de viagens que minimiza o custo é
O custo mínimo correspondente é