Uma empresa de logistica precisa transportar 1500 toneladas de material de um depósito até uma obra. O custo de transporte fazendo n viagens possui duas componentes:
(a) Um custo fixo por viagem de 100 reais:
C_{F}(n)=100 n
(b) um custo operacional por viagem que é igual ao quadrado da carga transportada em cada viagem. Como cada viagem transporta \frac{1500}{n} toneladas:
C_{o}(n)=n\left(\frac{1500}{n}\right)^{2}=\frac{1500^{2}}{n}
(c) Calcule uma expressão para o custo total, C(n), em função do número n de viagens e determine o número de viagens que minimiza o custo total.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado do texto do problema):
  • A quantidade total a transportar é 1500 toneladas.
  • Há um custo fixo por viagem dado por
C_{F}(n)=100\,n,
onde n é o número de viagens.
  • Há um custo operacional total dado pelo quadrado da carga por viagem: como cada viagem transporta \dfrac{1500}{n} toneladas, esse custo total é
C_{o}(n)=n\left(\frac{1500}{n}\right)^{2}=\frac{1500^{2}}{n}.
O que o problema pede:
  1. Calcular uma expressão para o custo total C(n) em função de n.
  2. Determinar o número de viagens n que minimiza o custo total.
Observação importante: n representa um número de viagens, portanto tem que ser um inteiro positivo. Aqui primeiro tratamos n como variável real positiva para achar o mínimo contínuo; depois verificamos a condição inteira.

Passo 2

Montar a expressão do custo total somando as duas componentes dadas:
C(n)=C_{F}(n)+C_{o}(n)=100\,n+\frac{1500^{2}}{n}.
Podemos também escrever o termo numérico:
1500^{2}=2\,250\,000,
logo uma forma explícita é
C(n)=100\,n+\frac{2\,250\,000}{n}.
Essa é a função que vamos minimizar para n>0.

Passo 3

Usamos cálculo diferencial para encontrar candidatos a mínimo. Regra usada (explicação didática): para funções do tipo a n^{k}, a derivada é a k n^{k-1} (regra do expoente). Em particular, para n^{-1} a derivada é -n^{-2}.
Derivando C(n) em relação a n:
C'(n)=\frac{d}{dn}\!\left(100\,n\right)+\frac{d}{dn}\!\left(1500^{2} n^{-1}\right)=100-1500^{2}\,n^{-2}.
Para obter extremos, resolvemos C'(n)=0:
100-1500^{2}\,n^{-2}=0.

Passo 4

Resolver a equação da derivada igual a zero passo a passo:
100=\frac{1500^{2}}{n^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}:
100\,n^{2}=1500^{2}.
Dividindo por 100:
n^{2}=\frac{1500^{2}}{100}=\left(\frac{1500}{10}\right)^{2}=150^{2}.
Como n>0, obtemos
n=150.
Então n=150 é o único ponto crítico positivo.

Passo 5

Confirmar que esse ponto é mínimo: calculamos a segunda derivada e verificamos o sinal. A segunda derivada é
C''(n)=\frac{d}{dn}\!\left(100-1500^{2}n^{-2}\right)=2\cdot1500^{2}\,n^{-3}.
Para n>0 esse valor é positivo ( C''(n)>0), logo a função é convexa e o ponto crítico n=150 é um mínimo local — e, por convexidade, é mínimo global em n>0.
Agora verificar a restrição inteira: n deve ser inteiro positivo. Aqui o mínimo contínuo encontrado é exatamente n=150, que é inteiro, portanto também é o mínimo admissível para o problema real.

Passo 6

Calcular o custo mínimo correspondente avaliando C em n=150. Primeiro a carga por viagem:
\frac{1500}{150}=10\\ \text{toneladas por viagem}.
Custos:
C_{F}(150)=100\cdot150=15\,000,
C_{o}(150)=\frac{1500^{2}}{150}= \frac{2\,250\,000}{150}=15\,000.
Somando,
C(150)=15\,000+15\,000=30\,000.
Interpretação rápida e prática: com 150 viagens cada viagem leva 10 toneladas; o custo fixo por viagem é 100 reais e o custo operacional por viagem é 10^{2}=100 reais, então o custo por viagem é 200 reais e, multiplicando por 150, dá 30\,000 reais no total.

Resposta

C(n)=100\,n+\dfrac{1500^{2}}{n}
O número de viagens que minimiza o custo é n=150.
O custo mínimo correspondente é C(150)=30\,000 reais.

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