Desenhe a imagem de cada uma das seguintes curvas:
\gamma(t)=(1+\sin t, 1+\sin t, \cos t), t \geq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\gamma(t) = \bigl(1+\sin t,\;1+\sin t,\;\cos t\bigr),\quad t\ge0
ou seja, as componentes satisfazem x=y=1+\sin t e z=\cos t. Nosso objetivo é descrever geometricamente o lugar geométrico (imagem) dessa curva.

Passo 2

Como x=y, a imagem está contida no plano
x - y = 0.
Para eliminar o parâmetro t, note que
\sin t = x - 1 \qquad\text{e}\qquad \cos t = z.
Pela identidade trigonométrica \sin^2t+\cos^2t=1, obtemos

Passo 3

(x-1)^2 + z^2 = 1.
Logo, além de pertencer ao plano x=y, os pontos satisfazem essa equação de círculo de raio 1 centrado em (1,0) no plano (x,z).

Passo 4

Concluímos que a imagem de \gamma é o círculo de raio 1 cujo centro é (1,1,0) e que está inteiramente no plano x=y. Alguns pontos notáveis são
t=0:\;(1,1,1),\quad t=\pi:\;(1,1,-1),\quad t=\tfrac\pi2:\;(2,2,0),\quad t=\tfrac{3\pi}2:\;(0,0,0).
Basta desenhar esse círculo inclinado no espaço.

Resposta

A imagem de \gamma é o círculo de raio 1, centro em (1,1,0), contido no plano x=y.

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