Esboce os gráficos das funções de duas variáveis:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
O conteúdo principal aqui é entender o comportamento de superfícies definidas por funções racionais de
e
, usando:
- domínio e simetrias;
- seções transversais (cortes ao longo de retas do plano
); - curvas de nível (contornos no plano
); - caráter assintótico e pico central.
Passo 2
Analisando o domínio e as simetrias:
só em
, onde o denominador zera, logo
não está definida em
e tende a
quando
. Para
,
.
Além disso, é par em
e em
, pois só aparece
e
. Portanto, o gráfico é simétrico em relação aos planos
e
.
Além disso,
Passo 3
Estudando seções transversais:
- Ao longo de
:
que tende a
quando
e a
quando
.
2. Ao longo de :
2. Ao longo de
também diverge em
e vai a
quando
.
Esses cortes mostram um “pico” vertical em e caem rápido para
longe da origem.
Esses cortes mostram um “pico” vertical em
Passo 4
Curvas de nível: para um valor constante
, a equação
vira
São elipses centradas na origem, com semieixo em
de comprimento
e em
de comprimento
. À medida que
cresce, a elipse encolhe (próxima ao pico); para
, as elipses se expandem.
Passo 5
Montando o esboço tridimensional:
- Há um pico infinito em
(vertical assintótica). - Em qualquer direção reta no plano
, a superfície decai como inverso de quarta potência da distância à origem. - As curvas de nível são elipses, então o “corpo” da superfície é um “pináculo” com base elíptica, simétrico nos eixos
e . - Para grandes distâncias,
, logo a superfície se aproxima do plano .
Resposta
O gráfico de
é um pico infinitamente alto em
, decaindo rapidamente para
à medida que
cresce. As curvas de nível são elipses de equação
.