Esboce os gráficos das funções de duas variáveis:
f(x, y)=\frac{1}{\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{1}{\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é entender o comportamento de superfícies definidas por funções racionais de x e y, usando:
  1. domínio e simetrias;
  2. seções transversais (cortes ao longo de retas do plano xy);
  3. curvas de nível (contornos no plano xy);
  4. caráter assintótico e pico central.

Passo 2

Analisando o domínio e as simetrias:
x^{2}+2y^{2}=0
só em (0,0), onde o denominador zera, logo f não está definida em (0,0) e tende a +\infty quando (x,y)\to(0,0). Para (x,y)\neq(0,0), f>0.
Além disso, f é par em x e em y, pois só aparece x^2 e y^2. Portanto, o gráfico é simétrico em relação aos planos x=0 e y=0.

Passo 3

Estudando seções transversais:
  1. Ao longo de y=0:
f(x,0)=\frac{1}{(x^2)^2}=\frac{1}{x^4},
que tende a +\infty quando x\to0 e a 0 quando \lvert x\rvert\to\infty.
2. Ao longo de x=0:
f(0,y)=\frac{1}{(2y^2)^2}=\frac{1}{4\,y^4},
também diverge em y\to0 e vai a 0 quando \lvert y\rvert\to\infty.
Esses cortes mostram um “pico” vertical em (0,0) e caem rápido para 0 longe da origem.

Passo 4

Curvas de nível: para um valor constante c>0, a equação
f(x,y)=c
vira
\frac{1}{\bigl(x^2+2y^2\bigr)^{2}}=c \quad\Longrightarrow\quad x^2+2y^2=c^{-\tfrac12}.
São elipses centradas na origem, com semieixo em x de comprimento \sqrt{c^{-1/2}} e em y de comprimento \sqrt{c^{-1/2}/2}. À medida que c cresce, a elipse encolhe (próxima ao pico); para c\to0, as elipses se expandem.

Passo 5

Montando o esboço tridimensional:
  • Há um pico infinito em (0,0,f) (vertical assintótica).
  • Em qualquer direção reta no plano xy, a superfície decai como inverso de quarta potência da distância à origem.
  • As curvas de nível são elipses, então o “corpo” da superfície é um “pináculo” com base elíptica, simétrico nos eixos x e y.
  • Para grandes distâncias, f(x,y)\approx0, logo a superfície se aproxima do plano z=0.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=1/(x^2+2y^2)^2 é um pico infinitamente alto em (0,0), decaindo rapidamente para z=0 à medida que \sqrt{x^2+y^2} cresce. As curvas de nível são elipses de equação x^2+2y^2=\text{const}.

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