Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x^{2}-y^{2}-z=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em \mathbb{R}^3 definida por
x^{2}-y^{2}-z=1.
O conteúdo envolvido é o de superfícies quadráticas, e mais especificamente veremos que se trata de um paraboloide hiperbólico (forma de sela). Para isso, primeiro vamos isolar z.

Passo 2

Isolando z, obtemos
z \;=\; x^{2}-y^{2}-1.
Isso mostra que, ao longo da direção x, a curvatura é côncava para cima (termo +x^2), e ao longo da direção y, a curvatura é côncava para baixo (termo -y^2).

Passo 3

Analisemos agora algumas seções planas para entender melhor a forma:
Para z=k (plano horizontal), temos
x^{2}-y^{2}=k+1,
que são hipérboles sempre que k+1\neq 0, degenerando em duas retas cruzadas se k+1=0. Isso indica que as curvas de nível são hipérboles deslocadas ao longo do eixo z.

Passo 4

As seções pelos planos coordenados são parábolas:
\text{se }y=0:\quad z = x^{2}-1\quad(\text{parábola voltada para cima, vértice em }(0,0,-1)),áé
\text{se }x=0:\quad z = -\,y^{2}-1\quad(\text{parábola voltada para baixo, vértice em }(0,0,-1)).áé

Passo 5

Juntando essas informações, vemos que a superfície tem um ponto de sela em (0,0,-1), abre em forma de “selim”:
  • ao longo de x, curva pra cima;
  • ao longo de y, curva pra baixo;
  • as curvas de nível em planos z=\text{const} são hipérboles.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico (forma de sela) descrito por
z = x^{2}-y^{2}-1,
com ponto de sela em (0,0,-1), seção parabólica em y=0 e x=0, e curvas de nível hiperbólicas.

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