Desenhe a imagem de cada uma das seguintes curvas:
\gamma(t)=(\cos t, \sin t, 2), 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado define a curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t,2), 0\le t\le\pi. É uma curva em \mathbb R^3 que vive inteiramente no plano z=2. Nosso objetivo é descrever geometricamente a imagem de \gamma.

Passo 2

Observando as duas primeiras coordenadas, (x,y)=(\cos t,\sin t) percorre um círculo de raio 1 no plano xy, pois
\cos^2t+\sin^2t=1.
Como a terceira coordenada é constante igual a 2, toda a curva está contida no plano z=2.

Passo 3

O parâmetro t varia de 0 até \pi. Quando t=0, \gamma(0)=(1,0,2); quando t=\pi, \gamma(\pi)=(-1,0,2). À medida que t aumenta de 0 a \pi, (\cos t,\sin t) percorre a semicircunferência superior do círculo de raio 1 (isto é, a parte com y\ge0).

Passo 4

Portanto, a imagem de \gamma é o semicírculo superior de raio 1, centrado na origem do plano xy e situado no plano z=2. Em notação de conjunto, é
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x^2+y^2=1,\;y\ge0,\;z=2\}.

Resposta

A imagem de \gamma é o semicírculo de raio 1 no plano z=2 dado por
x^2+y^2=1,\quad y\ge 0,\quad z=2.

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