Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x^{2}-y^{2}+z^{3}=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em \mathbb{R}^3 dada por
x^{2} - y^{2} + z^{3} = 1.
Conteúdo: superfícies de nível e gráficos de funções de duas variáveis.
Precisaremos reescrever a equação isolando z e analisar cortes por planos paralelos ao plano xy.

Passo 2

Isolamos z para ver que a superfície é o gráfico de uma função de (x,y). Da equação
z^{3} = 1 - x^{2} + y^{2}
segue
z = \sqrt[\,3]{\,1 - x^{2} + y^{2}\,}.
Portanto, para cada (x,y)\in\mathbb{R}^2 existe exatamente um valor real de z.

Passo 3

Para entender a forma, analisamos cortes horizontais z=\text{constante}. Seja z_{0} fixo. Substituindo em
x^{2}-y^{2}+z_{0}^{3}=1
obtemos
x^{2}-y^{2} = 1 - z_{0}^{3} =: c.
Isso é a equação de uma hipérbole no plano xy com parâmetro c.

Passo 4

O sinal de c determina a orientação da hipérbole:
  • Se c>0 (ou seja, z_{0}^{3}<1), abre-se ao longo do eixo x.
  • Se c=0 (ou seja, z_{0}=1), degenera em duas retas y=\pm x.
  • Se c<0 (ou seja, z_{0}^{3}>1), abre-se ao longo do eixo y.

Passo 5

Exemplos de fatias:
  1. z=1 \implies c=0: duas retas y=\pm x.
  2. z=0 \implies c=1: hipérbole x^{2}-y^{2}=1 abrindo em x.
  3. z=2 \implies c=1-8=-7: hipérbole x^{2}-y^{2}=-7 abrindo em y.
    Ao variar z, essas curvas deformam-se suavemente, dando uma forma de “sela” cuja “altura” varia como a raiz cúbica.

Passo 6

Juntando tudo, temos uma superfície de sela (semelhante à do paraboloide hiperbólico), mas com curvatura vertical modulada por uma raiz cúbica. No centro, em (0,0), vale z=\sqrt[3]{1}=1, e à medida que x^{2}-y^{2} cresce positivo, z diminui; quando x^{2}-y^{2} fica negativo, z aumenta acima de 1.

Resposta

A superfície é o gráfico de z=\sqrt[3]{\,1 - x^{2} + y^{2}\,}, cujas seções horizontais z=z_{0} são hipérboles x^{2}-y^{2}=1-z_{0}^{3}. No esboço, percebe-se uma “sela” cujo ponto mais alto em (0,0) tem z=1 e que se abre em direções alternadas conforme z varia.

Exercícios relacionados