Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em
dada por
Conteúdo: superfícies de nível e gráficos de funções de duas variáveis.
Precisaremos reescrever a equação isolando e analisar cortes por planos paralelos ao plano
.
Precisaremos reescrever a equação isolando
Passo 2
Isolamos
para ver que a superfície é o gráfico de uma função de
. Da equação
segue
Portanto, para cada
existe exatamente um valor real de
.
Passo 3
Para entender a forma, analisamos cortes horizontais
. Seja
fixo. Substituindo em
obtemos
Isso é a equação de uma hipérbole no plano
com parâmetro
.
Passo 4
O sinal de
determina a orientação da hipérbole:
- Se
(ou seja, ), abre-se ao longo do eixo . - Se
(ou seja, ), degenera em duas retas . - Se
(ou seja, ), abre-se ao longo do eixo .
Passo 5
Exemplos de fatias:
-
: duas retas . -
: hipérbole abrindo em . -
: hipérbole abrindo em .
Ao variar, essas curvas deformam-se suavemente, dando uma forma de “sela” cuja “altura” varia como a raiz cúbica.
Passo 6
Juntando tudo, temos uma superfície de sela (semelhante à do paraboloide hiperbólico), mas com curvatura vertical modulada por uma raiz cúbica. No centro, em
, vale
, e à medida que
cresce positivo,
diminui; quando
fica negativo,
aumenta acima de
.
Resposta
A superfície é o gráfico de
cujas seções horizontais
são hipérboles
. No esboço, percebe-se uma “sela” cujo ponto mais alto em
tem
e que se abre em direções alternadas conforme
varia.