Desenhe a imagem:
a) F(t)=(1, t),
b) F(t)=(2 t-1, t+2),
c) F(t)=\left(t, t^{3}\right),
d) F(t)=\left(t^{2}, t\right),
e) F(t)=\left(t^{2}, t^{4}\right),
f) F(t)=(\cos t, 2 \sin t),
g) F(t)=(\sin t, \sin t),
h) F(t)=\left(\sin t, \sin ^{2} t\right),
i) F(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right), t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (ou descrever como desenhar) as curvas paramétricas abaixo; cada item dá uma função F(t)=(x(t),y(t)). Os dados são:
a) F(t)=(1,t) (domínio implícito: t\in\mathbb{R});
b) F(t)=(2t-1,t+2) ( t\in\mathbb{R} );
c) F(t)=(t,t^{3}) ( t\in\mathbb{R} );
d) F(t)=(t^{2},t) ( t\in\mathbb{R} );
e) F(t)=(t^{2},t^{4}) ( t\in\mathbb{R} );
f) F(t)=(\cos t,2\sin t) ( t\in\mathbb{R} );
g) F(t)=(\sin t,\sin t) ( t\in\mathbb{R} );
h) F(t)=(\sin t,\sin^{2} t) ( t\in\mathbb{R} );
i) F(t)=(e^{t}\cos t,e^{t}\sin t), com t\ge 0.

Passo 2

Primeiro uma receita prática para desenhar curvas paramétricas (passo-a-passo que vou usar em cada item):
  1. Identificar x(t) e y(t).
  2. Tentar eliminar t para achar uma equação entre x e y (se possível). Para eliminar, resolver uma das equações por t ou expressar combinação que cancele t.
  3. Calcular o vetor tangente F'(t)=(x'(t),y'(t)). Ele mostra a direção da curva e a orientação conforme t cresce. Se x'(t)\ne 0 podemos usar
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.
  1. Escolher pontos de amostra (por exemplo t=-2,-1,0,1,2 ou valores especiais) e calcular (x(t),y(t)) para posicionar pontos-chave.
  2. Analisar periodicidade, simetrias e domínio (por exemplo restrições como x\ge 0 ou t\ge 0).
    Vou aplicar esses passos em cada item.

Passo 3

a) F(t)=(1,t). Aqui x(t)=1 e y(t)=t.
  • Eliminação: a relação entre x e y é simplesmente \,x=1.
  • Geometria: é a reta vertical que passa por x=1, ocupando todos os valores de y\in\mathbb{R}.
  • Tangente e orientação: x'(t)=0,\;y'(t)=1, o vetor tangente é (0,1) — conforme t cresce o ponto sobe no sentido positivo de y.
  • Pontos de amostra: t=-1\mapsto(1,-1), t=0\mapsto(1,0), t=1\mapsto(1,1). Para desenhar: traçar a reta vertical x=1 e indicar seta apontando para cima conforme t aumenta.

Passo 4

b) F(t)=(2t-1,t+2). Aqui x(t)=2t-1,\;y(t)=t+2.
  • Eliminar t: t=y-2. Substituindo em x: x=2(y-2)-1=2y-5. Rearranjando,
y=\frac{x+5}{2}.
  • Geometria: é uma reta afim com coeficiente angular 1/2 e intercepto vertical 5/2.
  • Tangente e orientação: x'(t)=2,\;y'(t)=1 então vetor tangente (2,1). À medida que t aumenta, ambos x e y aumentam (anda no sentido do vetor (2,1)).
  • Pontos de amostra: t=0\mapsto(-1,2), t=1\mapsto(1,3), t=-1\mapsto(-3,1). Para desenhar: trace a reta y=(x+5)/2 e marque a direção conforme t cresce.

Passo 5

c) F(t)=(t,t^{3}). Aqui x(t)=t,\;y(t)=t^{3}.
  • Eliminação: substituindo t=x \,y=x^{3}. É a cúbica canônica.
  • Geometria e simetria: função ímpar, simétrica em rotação de 180^\circ no plano; passa por (0,0). Cresce sem limites para x\to\pm\infty.
  • Tangente: x'(t)=1,\;y'(t)=3t^{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=3t^{2}=3x^{2}\ge 0,
ou seja a inclinação é sempre não-negativa; no ponto t=0 a inclinação é 0 (ponto de inflexão).
  • Pontos de amostra: t=-2\mapsto(-2,-8), t=-1\mapsto(-1,-1), t=0\mapsto(0,0), t=1\mapsto(1,1), t=2\mapsto(2,8). Desenhe a curva do tipo cúbica y=x^{3}, com seta no sentido de crescimento de x (da esquerda para a direita, subindo rápido após x>1).

Passo 6

d) F(t)=(t^{2},t). Aqui x(t)=t^{2},\;y(t)=t.
  • Eliminar: da segunda equação t=y; substituindo em x obtemos
x=y^{2},
ou seja a parábola padrão virada para a direita (vértice em (0,0)).
  • Domínio: x\ge 0 automaticamente porque x=t^{2}. Mas como y varia por todos os reais, obtemos ambos os ramos superior e inferior da parábola escrita como x=y^{2}. Em coordenadas clássicas, essa é a parábola com eixo paralelo ao eixo x.
  • Tangente e orientação: x'(t)=2t,\;y'(t)=1. O vetor tangente é (2t,1). Quando t cresce a curva é percorrida verticalmente para cima e para baixo conforme t muda sinal; por exemplo quando t passa de negativo para positivo o ponto vai do ramo inferior para o superior passando pelo vértice.
  • Pontos de amostra: t=-2\mapsto(4,-2), t=-1\mapsto(1,-1), t=0\mapsto(0,0), t=1\mapsto(1,1), t=2\mapsto(4,2). Desenhe a parábola x=y^{2} (abrindo para a direita), indicando como t percorre a curva (debaixo para cima quando t aumenta).

Passo 7

e) F(t)=(t^{2},t^{4}). Aqui x(t)=t^{2},\;y(t)=t^{4}.
  • Eliminar: observe que y=(t^{2})^{2}=(x)^{2}. Logo
y=x^{2}.
  • Restrições: como x=t^{2}, temos x\ge 0. Portanto a equação y=x^{2} só é satisfeita para x\ge 0 — isto é, obtemos apenas o ramo direito da parábola quadrática usual y=x^{2}. (Se você desenhar y=x^{2} normalmente, mantenha só a parte com x\ge 0.)
  • Observação sobre traçado e orientação: valores t e -t dão o mesmo ponto (parâmetro par), então a curva é percorrida para frente e para trás conforme t muda de sinal; não há informação de sinal de x negativa.
  • Pontos de amostra: t=-1 ou t=1\mapsto(1,1), t=0\mapsto(0,0), t=2 ou -2\mapsto(4,16). Para desenhar: trace a parábola y=x^{2} e apague a parte com x<0; marque que é só o ramo com x\ge 0.

Passo 8

f) F(t)=(\cos t,2\sin t). Aqui x(t)=\cos t,\;y(t)=2\sin t.
  • Eliminar: usar a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Multiplicando a segunda por 1/2 e elevando ao quadrado:
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
  • Geometria: é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=1 e semi-eixo vertical b=2. Equação em forma padrão \,x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • Período e orientação: x(t) e y(t) são periódicos de período 2\pi. Derivadas: x'(t)=-\sin t,\;y'(t)=2\cos t. No ponto t=0 temos F(0)=(1,0) e vetor tangente (0,2) (aponta para cima), então conforme t aumenta a elipse é percorrida no sentido anti-horário (contrário ao sentido horário).
  • Pontos de amostra: t=0\mapsto(1,0), t=\pi/2\mapsto(0,2), t=\pi\mapsto(-1,0), t=3\pi/2\mapsto(0,-2). Para desenhar: esboce a elipse com eixos horizontais e verticais, marque esses pontos e a seta anti-horária.

Passo 9

g) F(t)=(\sin t,\sin t). Aqui x(t)=y(t)=\sin t.
  • Eliminar: a relação é y=x, mas com a restrição x\in[-1,1] (já que \sin t varia entre -1 e 1). Portanto geometricamente os pontos pertencem à reta y=x, porém apenas ao segmento entre (-1,-1) e (1,1).
  • Comportamento temporal: como t varia, \sin t oscila e o ponto se desloca para frente e para trás ao longo do segmento diagonal y=x entre -1 e 1. É uma parametrização periódica que repete o mesmo segmento.
  • Pontos de amostra: t=0\mapsto(0,0), t=\pi/2\mapsto(1,1), t=\pi\mapsto(0,0), t=3\pi/2\mapsto(-1,-1). Para desenhar: trace o segmento da reta y=x com -1\le x\le 1 e indique que o ponto oscila nesse segmento conforme t aumenta.

Passo 10

h) F(t)=\big(\sin t,\sin^{2}t\big). Aqui x(t)=\sin t,\;y(t)=\sin^{2}t.
  • Eliminar: como y=(\sin t)^{2} e x=\sin t, temos
y=x^{2},
mas lembrando que x=\sin t satisfaz -1\le x\le 1. Logo geometricamente é a porção da parábola y=x^{2} com -1\le x\le 1.
  • Traçado e orientação: o ponto percorre esse arco de parábola da esquerda para a direita e de volta, periodicamente (pois \sin t se repete). Não são todos os x da parábola inteira, apenas os que ficam entre -1 e 1.
  • Pontos de amostra: t=0\mapsto(0,0), t=\pi/2\mapsto(1,1), t=\pi\mapsto(0,0), t=3\pi/2\mapsto(-1,1). Para desenhar: trace y=x^{2} apenas no intervalo [-1,1] e indique a oscilação do parâmetro.

Passo 11

i) F(t)=(e^{t}\cos t,e^{t}\sin t), t\ge 0.
  • Interpretação polar: escrevendo em coordenadas polares (r,\theta) temos r=e^{t} e \theta=t. Eliminando t se quiser: r=e^{\theta} (isto é, r cresce exponencialmente com o ângulo).
  • Geometria: é uma espiral logarítmica/exponencial que parte do ponto t=0\Rightarrow(e^{0}\cos 0,e^{0}\sin 0)=(1,0) e gira em sentido anti-horário (já que \theta=t aumenta) enquanto o raio aumenta rapidamente (porque r=e^{t}). Para t\to\infty a distância ao centro cresce como e^{t}.
  • Tangente e orientação: o vetor tangente é F'(t)=\big(e^{t}(\cos t-\sin t),\,e^{t}(\sin t+\cos t)\big), não é necessário simplificar demais; importante é que para t pequeno a curva gira passando por pontos como t=\pi/2\mapsto\big(e^{\pi/2}\cos\frac{\pi}{2},e^{\pi/2}\sin\frac{\pi}{2}\big)\approx(0,e^{\pi/2}). O percurso é anti-horário.
  • Pontos de amostra (aproximados): t=0\mapsto(1,0); t=1\mapsto(e\cos 1,e\sin 1)\approx(1{,}47,2{,}29); t=\pi/2\approx1{,}571\mapsto(0,e^{\pi/2}\approx4{,}81); t=\pi\approx3{,}142\mapsto(-e^{\pi}\approx-23{,}14,0). Para desenhar: comece em (1,0) e desenhe uma espiral que gira anti-horário e aumenta rapidamente em distância do centro à medida que gira.

Resposta

a) Reta vertical x=1, orientada para cima conforme t aumenta.
b) Reta afim y=\dfrac{x+5}{2}, orientação conforme o vetor (2,1).
c) Curva cúbica y=x^{3}, forma padrão de cúbica, orientada no sentido de aumento de x.
d) Parábola x=y^{2} (abre para a direita), percorrida conforme t varia.
e) Porção da parábola y=x^{2} com x\ge 0 (somente o ramo direito), percorrida duas vezes para t e -t.
f) Elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 (semi-eixos 1 e 2), percorrida anti-horariamente, período 2\pi.
g) Segmento da reta y=x com -1\le x\le 1, percorrido periodicamente (vai e volta).
h) Arco da parábola y=x^{2} para -1\le x\le 1, percorrido periodicamente (vai e volta).
i) Espiral exponencial/logarítmica r=e^{\theta} em coordenadas polares ( \theta=t), partindo de (1,0) para t\ge 0, girando anti-horário e afastando-se rapidamente do centro.

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