Desenhe a imagem:
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
g)
,
h)
,
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar (ou descrever como desenhar) as curvas paramétricas abaixo; cada item dá uma função
. Os dados são:
a) (domínio implícito:
);
b) (
);
c) (
);
d) (
);
e) (
);
f) (
);
g) (
);
h) (
);
i) , com
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 2
Primeiro uma receita prática para desenhar curvas paramétricas (passo-a-passo que vou usar em cada item):
- Identificar
e . - Tentar eliminar
para achar uma equação entre e (se possível). Para eliminar, resolver uma das equações por ou expressar combinação que cancele . - Calcular o vetor tangente
. Ele mostra a direção da curva e a orientação conforme cresce. Se podemos usar
- Escolher pontos de amostra (por exemplo
ou valores especiais) e calcular para posicionar pontos-chave. - Analisar periodicidade, simetrias e domínio (por exemplo restrições como
ou ).
Vou aplicar esses passos em cada item.
Passo 3
a)
. Aqui
e
.
- Eliminação: a relação entre
e é simplesmente . - Geometria: é a reta vertical que passa por
, ocupando todos os valores de . - Tangente e orientação:
, o vetor tangente é — conforme cresce o ponto sobe no sentido positivo de . - Pontos de amostra:
, , . Para desenhar: traçar a reta vertical e indicar seta apontando para cima conforme aumenta.
Passo 4
b)
. Aqui
.
- Eliminar
: . Substituindo em : . Rearranjando,
- Geometria: é uma reta afim com coeficiente angular
e intercepto vertical . - Tangente e orientação:
então vetor tangente . À medida que aumenta, ambos e aumentam (anda no sentido do vetor ). - Pontos de amostra:
, , . Para desenhar: trace a reta e marque a direção conforme cresce.
Passo 5
c)
. Aqui
.
- Eliminação: substituindo
dá . É a cúbica canônica. - Geometria e simetria: função ímpar, simétrica em rotação de
no plano; passa por . Cresce sem limites para . - Tangente:
. Assim
ou seja a inclinação é sempre não-negativa; no ponto
a inclinação é
(ponto de inflexão).
- Pontos de amostra:
, , , , . Desenhe a curva do tipo cúbica , com seta no sentido de crescimento de (da esquerda para a direita, subindo rápido após ).
Passo 6
d)
. Aqui
.
- Eliminar: da segunda equação
; substituindo em obtemos
ou seja a parábola padrão virada para a direita (vértice em
).
- Domínio:
automaticamente porque . Mas como varia por todos os reais, obtemos ambos os ramos superior e inferior da parábola escrita como . Em coordenadas clássicas, essa é a parábola com eixo paralelo ao eixo . - Tangente e orientação:
. O vetor tangente é . Quando cresce a curva é percorrida verticalmente para cima e para baixo conforme muda sinal; por exemplo quando passa de negativo para positivo o ponto vai do ramo inferior para o superior passando pelo vértice. - Pontos de amostra:
, , , , . Desenhe a parábola (abrindo para a direita), indicando como percorre a curva (debaixo para cima quando aumenta).
Passo 7
e)
. Aqui
.
- Eliminar: observe que
. Logo
- Restrições: como
, temos . Portanto a equação só é satisfeita para — isto é, obtemos apenas o ramo direito da parábola quadrática usual . (Se você desenhar normalmente, mantenha só a parte com .) - Observação sobre traçado e orientação: valores
e dão o mesmo ponto (parâmetro par), então a curva é percorrida para frente e para trás conforme muda de sinal; não há informação de sinal de negativa. - Pontos de amostra:
ou , , ou . Para desenhar: trace a parábola e apague a parte com ; marque que é só o ramo com .
Passo 8
f)
. Aqui
.
- Eliminar: usar a identidade trigonométrica
. Multiplicando a segunda por e elevando ao quadrado:
- Geometria: é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical . Equação em forma padrão . - Período e orientação:
e são periódicos de período . Derivadas: . No ponto temos e vetor tangente (aponta para cima), então conforme aumenta a elipse é percorrida no sentido anti-horário (contrário ao sentido horário). - Pontos de amostra:
, , , . Para desenhar: esboce a elipse com eixos horizontais e verticais, marque esses pontos e a seta anti-horária.
Passo 9
g)
. Aqui
.
- Eliminar: a relação é
, mas com a restrição (já que varia entre e ). Portanto geometricamente os pontos pertencem à reta , porém apenas ao segmento entre e . - Comportamento temporal: como
varia, oscila e o ponto se desloca para frente e para trás ao longo do segmento diagonal entre e . É uma parametrização periódica que repete o mesmo segmento. - Pontos de amostra:
, , , . Para desenhar: trace o segmento da reta com e indique que o ponto oscila nesse segmento conforme aumenta.
Passo 10
h)
. Aqui
.
- Eliminar: como
e , temos
mas lembrando que
satisfaz
. Logo geometricamente é a porção da parábola
com
.
- Traçado e orientação: o ponto percorre esse arco de parábola da esquerda para a direita e de volta, periodicamente (pois
se repete). Não são todos os da parábola inteira, apenas os que ficam entre e . - Pontos de amostra:
, , , . Para desenhar: trace apenas no intervalo e indique a oscilação do parâmetro.
Passo 11
i)
,
.
- Interpretação polar: escrevendo em coordenadas polares
temos e . Eliminando se quiser: (isto é, cresce exponencialmente com o ângulo). - Geometria: é uma espiral logarítmica/exponencial que parte do ponto
e gira em sentido anti-horário (já que aumenta) enquanto o raio aumenta rapidamente (porque ). Para a distância ao centro cresce como . - Tangente e orientação: o vetor tangente é
, não é necessário simplificar demais; importante é que para pequeno a curva gira passando por pontos como . O percurso é anti-horário. - Pontos de amostra (aproximados):
; ; ; . Para desenhar: comece em e desenhe uma espiral que gira anti-horário e aumenta rapidamente em distância do centro à medida que gira.
Resposta
a) Reta vertical
, orientada para cima conforme
aumenta.
b) Reta afim , orientação conforme o vetor
.
c) Curva cúbica , forma padrão de cúbica, orientada no sentido de aumento de
.
d) Parábola (abre para a direita), percorrida conforme
varia.
e) Porção da parábola com
(somente o ramo direito), percorrida duas vezes para
e
.
f) Elipse (semi-eixos
e
), percorrida anti-horariamente, período
.
g) Segmento da reta com
, percorrido periodicamente (vai e volta).
h) Arco da parábola para
, percorrido periodicamente (vai e volta).
i) Espiral exponencial/logarítmica em coordenadas polares (
), partindo de
para
, girando anti-horário e afastando-se rapidamente do centro.
b) Reta afim
c) Curva cúbica
d) Parábola
e) Porção da parábola
f) Elipse
g) Segmento da reta
h) Arco da parábola
i) Espiral exponencial/logarítmica