Desenhe a imagem da função
-
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ definida por $ f(\tau) = (\tau, \tau^{3}) $. Isso significa que para cada número real $ \tau $, a função produz um ponto no plano $ \mathbb{R}^{2} $ com as coordenadas $ (\tau, \tau^{3}) $. Vamos precisar entender de funções paramétricas e como desenhar esses pontos no plano para visualizar a imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender essa função $ f(\tau) = (\tau, \tau^{3}) $. Aqui, $ \tau $ é o parâmetro que varia em todos os números reais. Para cada valor de $ \tau $, a função nos dá um par ordenado onde o primeiro componente é $ \tau $ e o segundo é $ \tau^{3} $. Então, basicamente, estamos mapeando cada $ \tau $ para um ponto $ (x, y) $ no plano, onde $ x = \tau $ e $ y = \tau^{3} $.
Passo 3
Agora, para desenhar a imagem dessa função, vamos pensar em como $ y $ se relaciona com $ x $. Como $ x = \tau $ e $ y = \tau^{3} $, podemos substituir $ \tau $ por $ x $ na expressão de $ y $, ficando $ y = x^{3} $. Isso simplifica nossa função para $ y = x^{3} $, que é uma função cúbica conhecida.
Passo 4
Vamos lembrar como é o gráfico da função $ y = x^{3} $. Essa curva é simétrica em relação à origem, passa pelos pontos $ (0,0) $, $ (1,1) $, $ (-1,-1) $, $ (2,8) $, $ (-2,-8) $, e assim por diante. Ela sobe bem rápido para valores positivos de $ x $ e desce rapidamente para valores negativos de $ x $.
Passo 5
Para desenhar a imagem da função $ f(\tau) = (\tau, \tau^{3}) $, basta plotar vários pontos seguindo a regra $ y = x^{3} $ no plano cartesiano. Podemos começar plotando alguns pontos para ter uma ideia:
- Para $ \tau = -2 $: $ (-2, -8) $
- Para $ \tau = -1 $: $ (-1, -1) $
- Para $ \tau = 0 $: $ (0, 0) $
- Para $ \tau = 1 $: $ (1, 1) $
- Para $ \tau = 2 $: $ (2, 8) $
Passo 6
Conectando esses pontos, vamos perceber que a curva formada é uma parábola cúbica, que sobe da esquerda para a direita de forma simétrica e contínua, sem quebrar. Essa é a imagem da nossa função $ f(\tau) $.
Resposta
A imagem da função $ f(\tau) = (\tau, \tau^{3}) $ é a curva $ y = x^{3} $ no plano cartesiano, que é uma parábola cúbica simétrica em relação à origem.