integral 2x^2+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2x^2+5,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais que se reduzem ao caso integral dxx^2+a^2=1aarctanl(tfracxar)+C. Vamos usar exatamente essa fórmula.

Passo 2

Começamos extraindo constantes e escrevendo o denominador na forma (tfracxraiz5)^2+1. Observamos que x^2+5=5l(tfracx^25+1r)=5l( (tfracxraiz5)^2+1r). Portanto,
2x^2+5=25,1(tfracxraiz5)^2+1

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=tfracxraiz5, de modo que du=tfrac1raiz5,dx, isto é, dx=raiz5,du. Assim,
integral 2x^2+5,dx=25integral 1u^2+1,(raiz5,du)=2raiz55integral duu^2+1

Passo 4

Usando integral duu^2+1=arctan(u)+C, obtemos
2raiz55arctan(u)+C

Passo 5

Por fim, voltamos a x com u=tfracxraiz5 e simplificamos tfrac2raiz55=tfrac2raiz5.

Resposta

2raiz5arctanl(tfracxraiz5r)+C

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