Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
alpha:[0,5] longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(1+raizt, t^2-4 t).

Passo 1

Beleza, vamos começar compreendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma curva parametrizada, ou seja, uma curva no plano que é descrita por duas funções que dependem de um parâmetro alpha(t) = (1 + raizt, t^2 - 4t) . Aqui, a curva é dada por:
E o domínio de vai de 0 até 5. Para desenhar a imagem dessa curva, vamos precisar entender como cada coordenada e varia conforme muda nesse intervalo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a coordenada . Ela é dada por . A raiz quadrada de está presente, então precisamos lembrar que só está definida para . Como nosso intervalo já começa em 0, tá tudo certo. Conforme aumenta de 0 até 5, também aumenta, mas de forma mais lenta. Assim, vai de até .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a coordenada y = t^2 - 4t = (t^2 - 4t + 4) - 4 = (t - 2)^2 - 4 , que é . Essa é uma função quadrática, ou seja, uma parábola. Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado para entender melhor:
Isso mostra que a parábola tem seu vértice no ponto e . Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 4

Agora que entendemos as duas coordenadas, vamos calcular alguns pontos chave para ajudar no desenho. Vamos escolher valores de x = 1 + raiz0 = 1, y = 0^2 - 4(0) = 0 dentro de [0,5] e calcular x = 1 + 1 = 2, y = 1 - 4 = -3 e x = 1 + raiz2 approx 2,41, y = 4 - 8 = -4 :
  • Para x = 1 + raiz3 approx 2,73, y = 9 - 12 = -3 :
    x = 1 + 2 = 3, y = 16 - 16 = 0
    Ponto: (1, 0)
  • Para x = 1 + raiz5 approx 3,24, y = 25 - 20 = 5 :
    Ponto: (2, -3)
  • Para :
    Ponto: (2,41, -4)
  • Para :
    Ponto: (2,73, -3)
  • Para :
    Ponto: (3, 0)
  • Para :
    Ponto: (3,24, 5)

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a esboçar a curva no plano . A curva começa no ponto (1, 0), desce até o mínimo em no ponto (2,41, -4), e depois sobe novamente passando por (3, 0) e terminando em (3,24, 5). Isso forma uma espécie de “U” inclinada para a direita.
Além disso, como a coordenada aumenta de forma não linear (por causa da raiz quadrada), a curva vai esticando mais na direção horizontal conforme aumenta.

Resposta

A imagem da curva parametrizada para entre 0 e 5 é uma parábola que começa no ponto (1, 0), desce até o ponto mais baixo em aproximadamente (2,41, -4) quando , e depois sobe novamente passando por (3, 0) e terminando em cerca de (3,24, 5). A curva tem a forma de um “U” inclinado para a direita no plano .

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