Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos começar compreendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma curva parametrizada, ou seja, uma curva no plano que é descrita por duas funções que dependem de um parâmetro
. Aqui, a curva é dada por:
E o domínio de
vai de 0 até 5. Para desenhar a imagem dessa curva, vamos precisar entender como cada coordenada
e
varia conforme
muda nesse intervalo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a coordenada
. Ela é dada por
. A raiz quadrada de
está presente, então precisamos lembrar que
só está definida para
. Como nosso intervalo já começa em 0, tá tudo certo. Conforme
aumenta de 0 até 5,
também aumenta, mas de forma mais lenta. Assim,
vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a coordenada
, que é
. Essa é uma função quadrática, ou seja, uma parábola. Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado para entender melhor:
Isso mostra que a parábola tem seu vértice no ponto
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima.
Passo 4
Agora que entendemos as duas coordenadas, vamos calcular alguns pontos chave para ajudar no desenho. Vamos escolher valores de
dentro de [0,5] e calcular
e
:
-
Para
: Ponto: (1, 0) -
Para
: Ponto: (2, -3) -
Para
: Ponto: (2,41, -4) -
Para
: Ponto: (2,73, -3) -
Para
: Ponto: (3, 0) -
Para
: Ponto: (3,24, 5)
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a esboçar a curva no plano
. A curva começa no ponto (1, 0), desce até o mínimo em
no ponto (2,41, -4), e depois sobe novamente passando por (3, 0) e terminando em (3,24, 5). Isso forma uma espécie de “U” inclinada para a direita.
Além disso, como a coordenada
aumenta de forma não linear (por causa da raiz quadrada), a curva vai esticando mais na direção horizontal conforme
aumenta.
Resposta
A imagem da curva parametrizada
para
entre 0 e 5 é uma parábola que começa no ponto (1, 0), desce até o ponto mais baixo em aproximadamente (2,41, -4) quando
, e depois sobe novamente passando por (3, 0) e terminando em cerca de (3,24, 5). A curva tem a forma de um “U” inclinado para a direita no plano
.