Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é qualquer contorno envolvendo a origem.
Passo 1
Então, o exercício fala de calcular
em que
é um contorno fechado envolvendo a origem. Queremos mostrar que esse integral vale zero. O assunto aqui é funções meromorfas com polos e o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
O Teorema dos Resíduos diz que, se
é meromorfa e
é um contorno que envolve interiormente os polos
, então
Aqui, o resíduo é o coeficiente
na expansão de Laurent de
em torno de
.
Passo 3
No nosso caso, há só um polo em
de ordem 2. A expansão de Laurent de
é simplesmente
de onde o coeficiente de
é zero. Logo
Aplicando o Teorema dos Resíduos, vem
Passo 4
Se invertêssemos a orientação de
, mudaríamos o sinal do resultado, mas como ele é zero, continua sendo zero. Por isso a orientação é irrelevante e a integral é nula.
Resposta
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