Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=1 / z^2 e C é qualquer contorno envolvendo a origem.

Passo 1

Então, o exercício fala de calcular integralC 1z^2,dz em que C é um contorno fechado envolvendo a origem. Queremos mostrar que esse integral vale zero. O assunto aqui é funções meromorfas com polos e o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

O Teorema dos Resíduos diz que, se f é meromorfa e C é um contorno que envolve interiormente os polos zk, então
Aqui, o resíduo é o coeficiente integralC f(z),dz = 2pi i sumk Res(f,zk) na expansão de Laurent de Res(f,z0) em torno de a-1.

Passo 3

No nosso caso, há só um polo em z=0 de ordem 2. A expansão de Laurent de f(z)=1/z^2 é simplesmente
f(z)=z^-2,
de onde o coeficiente de z^-1 é zero. Logo
Aplicando o Teorema dos Resíduos, vem
Resl(f,0r)=0

Passo 4

Se invertêssemos a orientação de C, mudaríamos o sinal do resultado, mas como ele é zero, continua sendo zero. Por isso a orientação é irrelevante e a integral é nula.

Resposta

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