Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=cos zsen^2 z e C é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ointCcos zsin^2 z,dz=0, onde C é o círculo |z|=1. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar encontrar as singularidades de f(z)=cos zsin^2 z dentro de C e calcular suas respectivas parcelas principais (resíduos).

Passo 2

Identificamos que sin z=0 em z=kpi. Dentro de |z|=1, o único ponto é z=0. Como sin z tem zero simples em 0, sin^2 z tem zero de ordem 2 em 0, logo f(z) tem um polo de ordem 2 em z=0.

Passo 3

Para achar o resíduo em z=0, podemos desenvolver f(z) em série de Laurent até o termo 1/z. Usamos as expansões:
cos z = 1 - z^22 + O(z^4),
sin z = z - z^36 + O(z^5),
sin^2 z = z^2 - z^43 + O(z^6)
Então
f(z)=cos zsin^2 z =1 - tfracz^22 + O(z^4)z^2l(1 - tfracz^23 + O(z^4)r) =1z^2l(1 - tfracz^22r)l(1 + tfracz^23r) + O(z^2) =1z^2 - 16 + O(z^2)

Passo 4

Da série de Laurent vemos que o coeficiente de 1/z é zero. Portanto o resíduo de f em z=0 é 0.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
ointCcos zsin^2 z,dz = 2pi i sumresíduos dentro de C = 2pi icdot 0 = 0 í

Resposta

0

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