Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, onde
é o círculo
. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar encontrar as singularidades de
dentro de
e calcular suas respectivas parcelas principais (resíduos).
Passo 2
Identificamos que
em
. Dentro de
, o único ponto é
. Como
tem zero simples em
,
tem zero de ordem 2 em
, logo
tem um polo de ordem 2 em
.
Passo 3
Para achar o resíduo em
, podemos desenvolver
em série de Laurent até o termo
. Usamos as expansões:
Então
Passo 4
Da série de Laurent vemos que o coeficiente de
é zero. Portanto o resíduo de
em
é 0.
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos,
Resposta
0