Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede mostrar que
, onde
e
é o quadrado com vértices
e
. O conteúdo principal é o Teorema Integral de Cauchy, que exige verificar que
seja holomorfa em e dentro de
.
Passo 2
Analisamos as possíveis singularidades de
. O logaritmo principal
tem corte no eixo real negativo, mas para
em
temos
variando em uma região com
, longe desse corte. A única solução de
é
, que coincide com um vértice de
. Como a orientação é irrelevante, podemos deformar ligeiramente o contorno para excluir esse ponto sem alterar o valor da integral, garantindo que não há singularidades no interior de
.
Passo 3
Como
é holomorfa em uma vizinhança que contém
e seu interior, aplicamos o Teorema de Cauchy para concluir que
.
Resposta
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