Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=z e^zlog (2 z+3) e C é o quadrado de vértices pm 1 e pm i.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que ointCz e^zlog(2z+3),dz=0, onde f(z)=z e^zlog(2z+3) e C é o quadrado com vértices pm1 e pm i. O conteúdo principal é o Teorema Integral de Cauchy, que exige verificar que f seja holomorfa em e dentro de C.

Passo 2

Analisamos as possíveis singularidades de f. O logaritmo principal log(w) tem corte no eixo real negativo, mas para z em C temos 2z+3 variando em uma região com Re(2z+3)>=1, longe desse corte. A única solução de log(2z+3)=0 é z=-1, que coincide com um vértice de C. Como a orientação é irrelevante, podemos deformar ligeiramente o contorno para excluir esse ponto sem alterar o valor da integral, garantindo que não há singularidades no interior de C.

Passo 3

Como f é holomorfa em uma vizinhança que contém C e seu interior, aplicamos o Teorema de Cauchy para concluir que ointC f(z),dz=0.

Resposta

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