Desenhe a imagem das seguintes funções f: R R^2
f(t)=(2 t-1, t+2)

Passo 1

O enunciado define uma função parametrizada
fcolon RtoR^2, f(t)=(2t-1,;t+2)
O conteúdo aqui é representação paramétrica de retas em R^2: vamos encontrar a reta que corresponde à imagem de f.

Passo 2

Primeiro, obtemos dois pontos da imagem escolhendo valores simples de t:
f(0) = (2cdot0-1,;0+2)=(-1,2),
f(1) = (2cdot1-1,;1+2)=(1,3)
Logo, a reta passa por (-1,2) e por (1,3).

Passo 3

Agora eliminamos o parâmetro t. Da primeira componente escrevemos
x = 2t - 1 Longrightarrow t = x+12
Substituindo na segunda componente:
y = t + 2 = x+12 + 2 = x2 + 12 + 42 = x2 + 52
Portanto a imagem de f é a reta de equação
y = x2 + 52

Passo 4

Podemos anotar também o vetor-diretor da reta, que vem dos coeficientes de t em f(t):
(2,1),
e os interceptos com os eixos:
– Intercepto em y: em x=0 temos y=52, ponto (0,52).
– Intercepto em x: em y=0 temos 0 = x2 + 52implies x=-5, ponto (-5,0).

Resposta

A imagem de f é a reta
(x,y)inR^2 mid y = x2 + 52,
isto é, uma reta de vetor-diretor (2,1) passando por (-1,2).

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