Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede que a gente desenhe a imagem da superfície parametrizada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parametrização fornece pontos no espaço com coordenadas
. - O conjunto de todos esses pontos (para todos os
) é a imagem que devemos desenhar. - Não há restrição em
: ambos variam por todos os reais.
Passo 2
Mostrar que a imagem é o gráfico de uma função simples.
Como e
, podemos reescrever a coordenada
como
Como
Portanto a imagem é exatamente o conjunto de pontos
tais que
Explicação didática: isso significa que a superfície é o gráfico da função de duas variáveis
. Em termos práticos, para cada ponto
no plano
eu subo até a altura
e ploto esse ponto no espaço.
Passo 3
Entender as curvas de nível (ajuda muito a desenhar).
Curvas de nível são interseções da superfície com planos horizontais . Substituindo na equação do gráfico temos
Curvas de nível são interseções da superfície com planos horizontais
- Se
não há soluções (logo não existem curvas de nível abaixo de ). - Se
a curva de nível é o ponto . - Se
a curva de nível é um círculo de raio no plano .
Exemplos práticos para desenhar: curvas de nível parasão círculos de raios e respectivamente, situados nas alturas e .
Passo 4
Traços verticais (seções por planos
ou
) — mostrar que são parábolas.
Fixe (ou seja, fixando
). A curva na superfície é
Fixe
ou seja, na reta
a seção é a parábola
no plano paralelo ao plano
. O vértice dessa parábola está em
.
Analogamente, fixando (ou
) obtemos a parábola
no plano paralelo ao plano
.
Didaticamente: essas parábolas mostram o “perfil” vertical da superfície — para cada linha reta paralela a um eixo horizontal obtemos uma parábola que abre para cima.
Analogamente, fixando
Didaticamente: essas parábolas mostram o “perfil” vertical da superfície — para cada linha reta paralela a um eixo horizontal obtemos uma parábola que abre para cima.
Passo 5
Simetria radial — usar coordenadas polares para visualizar o formato rotacional.
Passe para coordenadas polares no plano : escreva
Passe para coordenadas polares no plano
Então
A parametrização fica
Interpretação: para cada ângulo
fixo a curva
é uma parábola no plano radial que contém o eixo
. A superfície é gerada pela rotação da parábola
(no plano
-
) em torno do eixo
. Logo a superfície é um paraboloide circular de revolução, com eixo sobre o eixo
.
Passo 6
Pontos de referência e como posicioná-los no desenho (muito útil na prova).
Pegue alguns pontos simples da parametrização e marque no esboço:
Pegue alguns pontos simples da parametrização e marque no esboço:
-
— vértice no origem. -
e — mostram que na altura os pontos e pertencem à superfície (confirmando o círculo de raio ). -
— exemplo para checar crescimento quadrático.
Esses pontos ajudam a posicionar as curvas de nível e os perfis parabólicos ao desenhar.
Passo 7
Como desenhar passo a passo (instrução prática para fazer à mão, sem régua complicada):
- Desenhe os três eixos:
, no plano horizontal e vertical; marque a origem. - Trace a seção do plano
(plano ) e desenhe a parábola ali — isso dá um perfil vertical. - Trace a seção do plano
(plano ) e desenhe a parábola . Esses dois perfis cruzam no vértice e guiam a curvatura. - Em alturas
e desenhe círculos horizontais de raios e ; projete-os de forma concêntrica sobre o plano . - Conecte suavemente os círculos usando curvas que seguem os perfis parabólicos: o objeto resultante é um “cone” curvo que abre para cima, mais largo à medida que
aumenta. - Opcional: desenhe algumas linhas de parâmetro
(parábolas) e (parábolas ortogonais) para mostrar a malha parametrizada.
Passo 8
Características finais e observações úteis para a prova:
- Vértice em
. - Aberto para cima (no sentido positivo do eixo
). - Rotacionalmente simétrico em torno do eixo
(paraboloide circular). - Superfície não compacta e cresce quadraticamente: ao dobrar a distância radial
, cresce com . - Em qualquer seção vertical que contenha o eixo
obtemos a parábola .
Resposta
A imagem é o paraboloide circular de equação
com vértice em
, simétrico em torno do eixo
e aberto para cima.