Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.
\sigma(u, v)=\left(u, v, u^{2}+v^{2}\right),(u, v) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(u,v)=\big(u,\;v,\;u^{2}+v^{2}\big),\qquad (u,v)\in\mathbb{R}^{2},
e pede que a gente desenhe a imagem da superfície parametrizada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização fornece pontos no espaço com coordenadas \big(x,y,z\big)=(u,v,u^{2}+v^{2}).
  • O conjunto de todos esses pontos (para todos os (u,v)\in\mathbb{R}^{2}) é a imagem que devemos desenhar.
  • Não há restrição em (u,v): ambos variam por todos os reais.

Passo 2

Mostrar que a imagem é o gráfico de uma função simples.
Como \;x=u e \;y=v, podemos reescrever a coordenada z como
z = u^{2}+v^{2} = x^{2}+y^{2}.
Portanto a imagem é exatamente o conjunto de pontos \big(x,y,z\big) tais que
z = x^{2}+y^{2},\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Explicação didática: isso significa que a superfície é o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Em termos práticos, para cada ponto (x,y) no plano xy eu subo até a altura z=x^{2}+y^{2} e ploto esse ponto no espaço.

Passo 3

Entender as curvas de nível (ajuda muito a desenhar).
Curvas de nível são interseções da superfície com planos horizontais z=c. Substituindo na equação do gráfico temos
x^{2}+y^{2}=c.
  • Se c<0 não há soluções (logo não existem curvas de nível abaixo de z=0).
  • Se c=0 a curva de nível é o ponto (0,0,0).
  • Se c>0 a curva de nível é um círculo de raio \sqrt{c} no plano z=c.
    Exemplos práticos para desenhar: curvas de nível para c=1,\,4 são círculos de raios 1 e 2 respectivamente, situados nas alturas z=1 e z=4.

Passo 4

Traços verticais (seções por planos x=\text{const} ou y=\text{const}) — mostrar que são parábolas.
Fixe x=a (ou seja, fixando u=a). A curva na superfície é
(a,y,z) \quad\text{com}\quad z=a^{2}+y^{2},
ou seja, na reta x=a a seção é a parábola z=y^{2}+a^{2} no plano paralelo ao plano yz. O vértice dessa parábola está em (x,y,z)=(a,0,a^{2}).
Analogamente, fixando y=b (ou v=b) obtemos a parábola z=x^{2}+b^{2} no plano paralelo ao plano xz.
Didaticamente: essas parábolas mostram o “perfil” vertical da superfície — para cada linha reta paralela a um eixo horizontal obtemos uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Simetria radial — usar coordenadas polares para visualizar o formato rotacional.
Passe para coordenadas polares no plano (u,v): escreva
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,\qquad r\ge 0,\; \theta\in[0,2\pi).
Então
z = u^{2}+v^{2} = r^{2}.
A parametrização fica
\sigma(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\big).
Interpretação: para cada ângulo \theta fixo a curva r\mapsto\big(r\cos\theta,r\sin\theta,r^{2}\big) é uma parábola no plano radial que contém o eixo z. A superfície é gerada pela rotação da parábola z=r^{2} (no plano r- z) em torno do eixo z. Logo a superfície é um paraboloide circular de revolução, com eixo sobre o eixo z.

Passo 6

Pontos de referência e como posicioná-los no desenho (muito útil na prova).
Pegue alguns pontos simples da parametrização e marque no esboço:
  • \sigma(0,0)=(0,0,0) — vértice no origem.
  • \sigma(1,0)=(1,0,1) e \sigma(0,1)=(0,1,1) — mostram que na altura z=1 os pontos (\pm1,0,1) e (0,\pm1,1) pertencem à superfície (confirmando o círculo de raio 1).
  • \sigma(1,1)=(1,1,2) — exemplo para checar crescimento quadrático.
    Esses pontos ajudam a posicionar as curvas de nível e os perfis parabólicos ao desenhar.

Passo 7

Como desenhar passo a passo (instrução prática para fazer à mão, sem régua complicada):
  1. Desenhe os três eixos: x, y no plano horizontal e z vertical; marque a origem.
  2. Trace a seção do plano x=0 (plano yz) e desenhe a parábola z=y^{2} ali — isso dá um perfil vertical.
  3. Trace a seção do plano y=0 (plano xz) e desenhe a parábola z=x^{2}. Esses dois perfis cruzam no vértice e guiam a curvatura.
  4. Em alturas z=1 e z=4 desenhe círculos horizontais de raios 1 e 2; projete-os de forma concêntrica sobre o plano xy.
  5. Conecte suavemente os círculos usando curvas que seguem os perfis parabólicos: o objeto resultante é um “cone” curvo que abre para cima, mais largo à medida que z aumenta.
  6. Opcional: desenhe algumas linhas de parâmetro u=\text{const} (parábolas) e v=\text{const} (parábolas ortogonais) para mostrar a malha parametrizada.

Passo 8

Características finais e observações úteis para a prova:
  • Vértice em (0,0,0).
  • Aberto para cima (no sentido positivo do eixo z).
  • Rotacionalmente simétrico em torno do eixo z (paraboloide circular).
  • Superfície não compacta e cresce quadraticamente: ao dobrar a distância radial r, z cresce com r^{2}.
  • Em qualquer seção vertical que contenha o eixo z obtemos a parábola z=r^{2}.

Resposta

A imagem é o paraboloide circular de equação z=x^{2}+y^{2} com vértice em (0,0,0), simétrico em torno do eixo z e aberto para cima.

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