Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
e a função integranda é
. A tarefa é avaliar esse valor numérico.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A desigualdade
é equivalente a
. Assim a região
é
Traçando mentalmente: a reta
passa pela origem e atinge
em
. Portanto a projeção de
no eixo
é o intervalo
(porque quando
temos
e o máximo de
dado é
). Para cada
em
o
varia de
até
(pois
quando
). Logo podemos trocar a ordem de integração e escrever a integral como
Uso aqui o teorema de Fubini (ou Tonelli): a função
é contínua, então trocar a ordem de integração é permitido.
Passo 3
Calculo a integral interna em
. Como
é constante em relação a
, temos
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Para avaliar
fazemos a substituição padrão para funções do tipo
. Defina
Quando
temos
e quando
temos
. A integral fica
Integrando
obtemos
Passo 5
Portanto o valor da integral dupla solicitada é
. Força aí — essa técnica de trocar ordem e fazer a substituição
aparece muito em prova e é útil quando a integranda depende só de uma variável.