Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} e^{x^{2}} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y/2}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{2}\le x\le 1,
e a função integranda é e^{x^{2}}. A tarefa é avaliar esse valor numérico.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A desigualdade \frac{y}{2}\le x é equivalente a y\le 2x. Assim a região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\; y\le 2x \text{ e } x\le 1\}.
Traçando mentalmente: a reta y=2x passa pela origem e atinge y=2 em x=1. Portanto a projeção de R no eixo x é o intervalo 0\le x\le 1 (porque quando y=0 temos x\ge 0 e o máximo de x dado é 1). Para cada x em [0,1] o y varia de 0 até 2x (pois 2x\le 2 quando 0\le x\le 1). Logo podemos trocar a ordem de integração e escrever a integral como
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\,dy\,dx.
Uso aqui o teorema de Fubini (ou Tonelli): a função e^{x^{2}} é contínua, então trocar a ordem de integração é permitido.

Passo 3

Calculo a integral interna em y. Como e^{x^{2}} é constante em relação a y, temos
\int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\bigg[y\bigg]_{0}^{2x} = e^{x^{2}}\cdot (2x-0)=2x\,e^{x^{2}}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para avaliar \int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}}\,dx fazemos a substituição padrão para funções do tipo x e^{x^{2}}. Defina
u=x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx.
Quando x=0 temos u=0 e quando x=1 temos u=1. A integral fica
\int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} obtemos
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \big[e^{u}\big]_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1.

Passo 5

Portanto o valor da integral dupla solicitada é e-1. Força aí — essa técnica de trocar ordem e fazer a substituição u=x^{2} aparece muito em prova e é útil quando a integranda depende só de uma variável.

Resposta

e-1

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