Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{B}\left(2 x-y^{2}\right) d A, onde B é a região compreendida entre as curvas y=-x+1, y=x+1, e y=3;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \left(2x - y^{2}\right)\,dA,
onde B é a região compreendida entre as curvas y=-x+1, y=x+1 e y=3.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a ser integrada é f(x,y)=2x-y^{2}.\n
  • As fronteiras da região B são as retas y=-x+1, y=x+1 e a reta horizontal y=3.\n
  • O enunciado pede o valor numérico da integral dupla sobre a região B.\n

Passo 2

Entender a região B e montar a integral iterada.\n
Primeiro encontramos as interseções das curvas para visualizar B. Calculamos onde se cruzam y=x+1 e y=-x+1:
x+1 = -x+1 \implies 2x=0 \implies x=0,
logo y=1. Assim elas se encontram em (0,1).\n
Intersecção de cada reta inclinada com y=3:\n
Para y=x+1 com y=3:
3 = x+1 \implies x=2,
logo ponto (2,3).\n
Para y=-x+1 com y=3:
3 = -x+1 \implies -x=2 \implies x=-2,
logo ponto (-2,3).\n
Portanto B é o triângulo com vértices (-2,3),(2,3),(0,1).\n
Agora decidimos a ordem de integração. As retas estão dadas como y em função de x e também podem ser invertidas para x em função de y. É conveniente integrar primeiro em x (isto é, dx interno) porque para um dado y as abscissas dos limites são simplesmente
x_{\text{esq}} = 1-y\quad\text{(da reta }y=-x+1\text{ rearranjada)},
x_{\text{dir}} = y-1\quad\text{(da reta }y=x+1\text{ rearranjada)}.
O intervalo de y na região vai de y=1 (ponto comum das retas) até y=3.\n
Logo escrevemos a integral iterada:
\iint_{B} (2x-y^{2})\,dA = \int_{y=1}^{3}\!\left(\int_{x=\,1-y}^{\,y-1} (2x-y^{2})\,dx\right) dy.

Passo 3

Calcular a integral interna em x. Vamos integrar termo a termo. Lembre que
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int (-y^{2})\,dx = -y^{2}x,
pois y é tratado como constante quando integramos em x.\n
Portanto a primitiva em x é
x^{2}-y^{2}x.
Avaliamo-la entre x=1-y e x=y-1:
\int_{x=\,1-y}^{\,y-1} (2x-y^{2})\,dx = \bigl[x^{2}-y^{2}x\bigr]_{x=1-y}^{x=y-1}.

Passo 4

Substituímos os limites e fazemos a diferença passo a passo.\n
Avaliação em x=y-1:
(y-1)^{2} - y^{2}(y-1) = (y^{2}-2y+1) - (y^{3}-y^{2}) = -y^{3}+2y^{2}-2y+1.
Avaliação em x=1-y:
(1-y)^{2} - y^{2}(1-y) = (1-2y+y^{2}) - (y^{2}-y^{3}) = y^{3}-2y+1.
Agora a diferença (valor superior menos inferior):
\bigl(-y^{3}+2y^{2}-2y+1\bigr) - \bigl(y^{3}-2y+1\bigr) = -2y^{3}+2y^{2}.
Ou seja, a integral interna reduz-se à função de y
-2y^{3}+2y^{2} = 2y^{2}-2y^{3}.

Passo 5

Agora integramos essa função em y de 1 a 3. Escrevemos
\iint_{B} (2x-y^{2})\,dA = \int_{1}^{3} \bigl(2y^{2}-2y^{3}\bigr)\,dy.
Fatoramos 2 para simplificar e usamos primitivas standard:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},\qquad \int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Assim
\int_{1}^{3} \bigl(2y^{2}-2y^{3}\bigr)\,dy = 2\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{1}^{3}.

Passo 6

Avaliação numérica das primitivas:\n
Primeiro em y=3:
\frac{3^{3}}{3}-\frac{3^{4}}{4} = \frac{27}{3}-\frac{81}{4} = 9 - \frac{81}{4} = \frac{36}{4}-\frac{81}{4} = -\frac{45}{4}.
Em y=1:
\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{4}}{4} = \frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Diferença (valor em 3 menos valor em 1):
-\frac{45}{4} - \frac{1}{12} = -\frac{135}{12}-\frac{1}{12} = -\frac{136}{12} = -\frac{34}{3}.
Multiplicando pelo fator 2:
2\left(-\frac{34}{3}\right) = -\frac{68}{3}.

Passo 7

Conclusão e interpretação rápida: o resultado da integral é -\dfrac{68}{3}. O sinal negativo aparece porque, sobre boa parte da região B, o termo -y^{2} domina 2x, produzindo contribuição negativa líquida. Força! Você já tem a resolução completa passo a passo — é só revisar os limites e a álgebra para garantir que entra certo na prova.

Resposta

-\dfrac{68}{3}

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