Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
é a região compreendida entre as curvas
,
, e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região compreendida entre as curvas
,
e
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função a ser integrada é
.\n - As fronteiras da região
são as retas , e a reta horizontal .\n - O enunciado pede o valor numérico da integral dupla sobre a região
.\n
Passo 2
Entender a região
e montar a integral iterada.\n
Primeiro encontramos as interseções das curvas para visualizar . Calculamos onde se cruzam
e
:
Primeiro encontramos as interseções das curvas para visualizar
logo
. Assim elas se encontram em
.\n
Intersecção de cada reta inclinada com :\n
Para com
:
Intersecção de cada reta inclinada com
Para
logo ponto
.\n
Para com
:
Para
logo ponto
.\n
Portanto é o triângulo com vértices
.\n
Agora decidimos a ordem de integração. As retas estão dadas como em função de
e também podem ser invertidas para
em função de
. É conveniente integrar primeiro em
(isto é,
interno) porque para um dado
as abscissas dos limites são simplesmente
Portanto
Agora decidimos a ordem de integração. As retas estão dadas como
O intervalo de
na região vai de
(ponto comum das retas) até
.\n
Logo escrevemos a integral iterada:
Logo escrevemos a integral iterada:
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Vamos integrar termo a termo. Lembre que
pois
é tratado como constante quando integramos em
.\n
Portanto a primitiva em é
Portanto a primitiva em
Avaliamo-la entre
e
:
Passo 4
Substituímos os limites e fazemos a diferença passo a passo.\n
Avaliação em :
Avaliação em
Avaliação em
:
Agora a diferença (valor superior menos inferior):
Ou seja, a integral interna reduz-se à função de
Passo 5
Agora integramos essa função em
de
a
. Escrevemos
Fatoramos
para simplificar e usamos primitivas standard:
Assim
Passo 6
Avaliação numérica das primitivas:\n
Primeiro em :
Primeiro em
Em
:
Diferença (valor em
menos valor em
):
Multiplicando pelo fator
:
Passo 7
Conclusão e interpretação rápida: o resultado da integral é
. O sinal negativo aparece porque, sobre boa parte da região
, o termo
domina
, produzindo contribuição negativa líquida. Força! Você já tem a resolução completa passo a passo — é só revisar os limites e a álgebra para garantir que entra certo na prova.